Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 7 класса - сложность 2-5 с решениями

Круг разбит на <i>n</i> секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  <i>n</i> + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

<i>n</i> чисел  (<i>n</i> > 1)  называются <i>близкими</i>, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  <i>n</i> – 1.  Пусть  <i>a, b, c, ...   – n</i> близких чисел, <i>S</i> – их сумма. Докажите, что

  а) все они положительны;

  б)  <i>a + b > c</i>;

  в)  <i>a + b > ^S</i>/_<i>n</i>–1.

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i>   <img align="middle" src="/storage/problem-media/98041/problem_98041_img_2.gif">

а) Докажите, что если в 3<i>n</i> клетках таблицы 2<i>n</i>×2<i>n</i> расставлены 3<i>n</i> звёздочек, то можно вычеркнуть <i>n</i> столбцов и <i>n</i> строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.

б) Докажите, что в таблице 2<i>n</i>×2<i>n</i> можно расставить  3<i>n</i> + 1  звёздочку так, что при вычеркивании любых <i>n</i> строк и любых <i>n</i> столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.

Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды <i>A, B, C</i> и <i>D</i>, что <i>A</i> выиграла у <i>B, C</i> и <i>D</i>; <i>B</i> выиграла у <i>C</i> и <i>D, C</i> выиграла у <i>D</i>.

В таблицу 10×10 нужно записать в каком-то порядке цифры  0, 1, 2, 3, ..., 9  так, что каждая цифра встречалась бы 10 раз.

  а) Можно ли это сделать так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречалось не более четырёх различных цифр?

  б) Докажите, что найдётся строка или столбец, в которой (в котором) встречается не меньше четырёх различных чисел.

На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).

Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).

Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился на 2; затем третье привидение поменяло позиции (то есть открыло шкаф, если он был закрыт, и закрыло – если он был открыт) тех шкафов, номер которых делился на 3; следом за ним четвёртое привидение пом...

  Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

  – Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.

  – Нет, – отвечал Иван-царевич, – если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

  Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?

Двадцать рыцарей надели двадцать плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

Чему равно произведение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/88272/problem_88272_img_2.gif">

На кошачьей выставке в ряд сидят 10 котов и 19 кошек, причём рядом с каждой кошкой сидит более толстый кот.

Докажите, что рядом с каждым котом сидит кошка, которая тоньше него.

На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя. Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.

Написано 1992-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. Какова первая?

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла &frac23;, а в третьем бидоне – ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

Король сказал королеве:

  – Сейчас мне вдвое больше лет, чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько вам теперь. Когда же вам будет столько лет, сколько мне теперь, нам вместе будет 63 года.

Интересно, сколько лет каждому из них?

Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88248/problem_88248_img_2.gif"></div>Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.

Квадратный лист бумаги разрезали на шесть кусков в форме выпуклых многоугольников; пять кусков затерялись, остался один кусок в форме правильного восьмиугольника (см. рисунок). Можно ли по одному этому восьмиугольнику восстановить исходный квадрат?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88235/problem_88235_img_2.gif"></div>

Три друга  — Пётр, Роман и Сергей  — учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Пётр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Пётр математик. Если Сергей не математик, то Роман  — химик. Сможете ли вы определить специальности каждого?

Женю, Лёву и Гришу рассадили так, что Женя мог видеть Лёву и Гришу, Лёва  — только Гришу, а Гриша  — никого. Потом из мешка, в котором лежали две белые и три чёрные шапки (содержимое мешка было известно мальчикам), достали и надели на каждого шапку неизвестного ему цвета, а две шапки остались в мешке.

Женя сказал, что он не может определить цвет своей шапки. Лёва слышал ответ Жени и сказал, что и у него не хватает данных для определения цвета своей шапки. Мог ли Гриша на основании этих ответов определить цвет своей шапки?

Ваня и Вася  — братья-близнецы. Один из них всегда говорит правду, а другой всегда лжёт. Вы можете задать только один вопрос одному из братьев, на который он ответит "да" или "нет". Попробуйте выяснить, как зовут каждого из близнецов.