Задача № 173825
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 7 класса - сложность 4 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 173701
а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе. б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?
Задача № 173694
Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Задача № 173693
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное числоa > 1,а далее под каждымчислом kслева пишем числоk2, асправа —числоk + 1.Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.
Задача № 173667
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0, x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1). а) Докажите, что n – квадрат целого числа. б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
Задача № 173555
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
Задача № 173554
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времениt = 0возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то в...
Задача № 158295
На плоскости расположеноn5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
Задача № 158294
На окружности отметили 4nточек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере nточек пересечения красных отрезков с синими.
Задача № 158293
Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольникаA1...An, обладает тем свойством, что любая прямаяOAiсодержит еще одну вершину Aj. Докажите, что кроме точки Oникакая другая точка не обладает этим свойством.
Задача № 158230
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
Задача № 158088
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Задача № 156665
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Задача № 156664
На каждой стороне четырехугольника ABCDвзято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCDтоже описанный.
Задача № 156663
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольникаABDкасается продолжений сторон ADи ABв точках Mи N. Докажите, что точки пересечения отрезка MNс BCи CDлежат на вписанной окружности треугольника BCD.
Задача № 156662
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные ABи CD. Докажите, что четырехугольник ABCDописанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
Задача № 156553
Многоугольник A1A2...A2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при nнечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при nчетном оставшаяся пара сторон равна по длине.