Задача № 209903
Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в каждых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в каждых двух строках – различным?
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 7 класса - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 208743
Доказать, что остаток от деления простого числа на 30 – простое число или единица.
Задача № 207853
Путешественник посетил деревню, в котором каждый человек либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Жители деревни стали в круг, и каждый сказал путешественнику про соседа справа, правдив ли он. На основании этих сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю от всех жителей деревни составляют лжецы. Определите и вы, чему она равна.
Задача № 207736
Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например, 49/98 = 4/8. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".
Задача № 203964
Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.
Задача № 203012
Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок. Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок – в стакане и в кувшине. Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше – чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете вы?
Задача № 202829
Найдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.
Задача № 198653
В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число. Сколько лет младшему?
Задача № 198651
Любую ли сумму из целого числа рублей больше семи, можно уплатить без сдачи денежными купюрами по 3 и 5 рублей?
Задача № 198650
В каждой комнате особняка стояли букеты цветов. Всего было 30 букетов роз, 20 – гвоздик и 10 – хризантем, причём, в каждой комнате стоял хотя бы один букет. При этом ровно в двух комнатах стояли одновременно и хризантемы, и гвоздики, ровно в трёх комнатах – и хризантемы, и розы, ровно в четырёх комнатах – и гвоздики, и розы. Могло ли в особняке быть 55 комнат?
Задача № 198324
Можно ли бумажный круг с помощью ножниц перекроить в квадрат той же площади? (Разрешается сделать конечное число разрезов по прямым линиям и дугам окружностей.)
Задача № 198299
а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом? б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1. в) Найдите для каждого n такое наименьшее k = k(n), что к каждому n-значному числу можно приписать еще k цифр так, чтобы полученное (n+k)-значное число было полным квадратом.
Задача № 198294
Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности. а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения. б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.
Задача № 198271
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой). Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?
Задача № 198189
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д. а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей). б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Задача № 198188
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Задача № 198127
n чисел (n > 1) называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на n – 1. Пусть a, b, c, ... – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что а) все они положительны; б) a + b > c; в) a + b > S/n–1.
Задача № 198041
Докажите, что при любом натуральном n
Задача № 197981
В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?
Задача № 197940
Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.
Задача № 197862
На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу). Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
Задача № 197831
Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям). Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
Задача № 188282
В небольшом шотландском городке стояла школа, в которой учились ровно 1000 школьников. У каждого из них был шкаф для одежды – всего 1000 шкафов, причём шкафы были пронумерованы числами о 1 до 1000. А ещё в этой школе жили привидения – ровно 1000 привидений. Каждый школьник, уходя из школы, запирал свой шкаф, а ночью привидения начинали играть со шкафами, то отпирая, то запирая их. Однажды вечером школьники, как обычно, оставили запертыми все шкафы. Ровно в полночь появились привидения. Сначала первое привидение открыло все шкафы; потом второе привидение закрыло те шкафы, номер которых делился...
Задача № 188277
Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший. – Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея. – Нет, – отвечал Иван-цареви...
Задача № 188275
Двадцать рыцарей надели двадцать плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.
1–25 из 433