Задача № 131376
Несколько человек построились в два ряда. Каждый во втором ряду выше стоящего перед ним. Доказать, что если каждый ряд построить по росту, то это свойство сохранится.
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 6 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 131374
В поселке 100 домов. Какое наибольшее число замкнутых не пересекающихся заборов можно построить, чтобы каждый забор огораживал хотя бы один дом и никакие два забора не огораживали бы одну и ту же совокупность домов?
Задача № 131373
12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?
Задача № 131305
Решить в целых числах уравнение 5x³ + 11y³ + 13z³ = 0.
Задача № 131295
Есть 100 купюр двух типов: по a и b рублей, причём a ≠ b (mod 101). Доказать, что можно выбрать несколько купюр так, что полученная сумма (в рублях) делится на 101.
Задача № 131292
Решить в целых числах уравнение x² + y² + z² = 2xyz.
Задача № 131290
Доказать, что число 53·83·109 + 40·66·96 – составное.
Задача № 131255
Доказать, что а) Степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры. б) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный). в) Квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.
Задача № 131251
Доказать, что 22n–1 + 3n + 4 делится на 9 при любом n.
Задача № 131104
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников? б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Задача № 131099
Есть волейбольная сетка 5×10. Какое максимальное число веревок, её составляющих, можно разрезать так, чтобы она не распалась?
Задача № 131095
а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух. б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.
Задача № 131091
В графе 20 вершин, степень каждой не меньше 10. Доказать, что в нём есть гамильтонов путь.
Задача № 131089
В стране каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Доказать, что можно проехать по всем городам, побывав в каждом по одному разу (то есть что в полном ориентированном графе есть гамильтонов путь).
Задача № 131086
В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40. Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.
Задача № 130952
n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n делится на 4.
Задача № 130935
Может ли кузнечик за 25 прыжков вернуться в начальную позицию, если он прыгает: a) по прямой в любую сторону на нечётное расстояние; б) по плоскости на расстояние 1 в любом из четырёх основных направлений (вверх, вниз, вправо, влево); в) по плоскости ходом коня (то есть по диагонали прямоугольника 1×2); г) по диагонали прямоугольника a×b (a и b фиксированы).
Задача № 130928
Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.
Задача № 130926
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств 1) a + b < c + d; 2) (a + b)cd < ab(c + d); 3) (a + b)(c + d) < ab + cd неверно.
Задача № 130909
Вокруг экватора натянули верёвку. Затем её удлинили на 1 см и опять натянули, приподняв в одном месте. Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?
Задача № 130908
Сумма положительных чисел x1, x2, ..., xn равна ½. Докажите, что
Задача № 130893
Докажите, что .
Задача № 130859
Рассмотрим число Докажите, что оно а) меньше 1/10; б) меньше 1/12; в) больше 1/15.
Задача № 130858
Найдите наибольшее из чисел 5100, 691, 790, 885.
Задача № 130828
20 команд сыграли круговой турнир по волейболу. Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.
1–25 из 27