Задача № 173834
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 4-8 класса - сложность 5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 173814
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Задача № 173795
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 173769
Дан квадрат состороной 1.От него отсекают четыреуголка —четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Задача № 173689
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 173637
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
Задача № 173626
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы...
Задача № 173590
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 160919
Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.
Задача № 158418
Даны прямая l, окружность и точка M, лежащая на окружности и не лежащая на прямой l. ПустьPM — проектирование прямойlна данную окружность из точкиM(точка Xпрямой отображается в отличную от Mточку пересечения прямойXMс окружностью),R — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композицияPM-1oRoPMявляется проективным преобразованием.
Задача № 158417
Даны прямая l, окружность и точки M,N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение Pпрямой lна себя, являющееся композицией проектирования прямой lна данную окружность из точки Mи проектирования окружности на прямую lиз точки N. (Если точка Xлежит на прямой l, тоP(X) есть пересечение прямойNYс прямой l, где Y — отличная от Mточка пересечения прямойMXс данной окружностью.) Докажите, что преобразование Pпроективно.
Задача № 158378
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, чтоL — аффинное преобразование.
Задача № 158377
ПустьL— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогдаL — аффинное преобразование.
Задача № 158376
На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.
Задача № 158375
На плоскости даны три вектораa,b,c, причемa+b+c= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами ||, ||, || можно составить треугольник.
Задача № 158374
Докажите, что любой выпуклый шестиугольникABCDEF, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналямиAD,BEиCF.
Задача № 158373
Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.
Задача № 158372
Докажите, что если M'и N' — образы многоугольников Mи Nпри аффинном преобразовании, то отношение площадей Mи Nравно отношению площадей M'и N'.
Задача № 158371
Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.
Задача № 158370
Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.
Задача № 158369
На плоскости дан многоугольникA1A2...Anи точкаOвнутри его. Докажите, что равенства + = 2 cos, 1 + = 2 cos, to4.5cm + = 2 cos. необходимы...
Задача № 158290
Докажите, что для любого натурального Nсуществует Nточек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.
Задача № 158283
Докажите, что к квадрату нельзя приложить более 8 не налегающих друг на друга квадратов.
Задача № 158282
Имеется неограниченное количество плиток в форме многоугольникаM. Будем говорить, что из этих плиток можно сложить паркет, если ими можно покрыть круг сколь угодно большого радиуса так, чтобы не было ни просветов, ни перекрытий. а) Докажите, что еслиM — выпуклыйn-угольник, гдеn7, то паркет сложить нельзя. б) Приведите пример такого выпуклого пятиугольника с попарно непараллельными сторонами, что паркет сложить можно.
Задача № 158281
а) Можно ли квадрат6×6 замостить костями домино1×2 так, чтобы не было к швак, т. е. прямой, не разрезающей костей? б) Докажите, что любой прямоугольникm×n, гдеmиnбольше 6 иmnчетно, можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак. в) Докажите, что прямоугольник6×8 можно замостить костями домино так, чтобы не было к швак.
1–25 из 114