Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 2-9 класса - сложность 5 с решениями

На сторонах выпуклого<i>n</i>-угольника внешним образом построены правильные<i>n</i>-угольники. Докажите, что их центры образуют правильный<i>n</i>-угольник тогда и только тогда, когда исходный<i>n</i>-угольник аффинно правильный.

На сторонах аффинно правильного многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nс центром<i>O</i>внешним образом построены квадраты<i>A</i>_{j + 1}<i>A</i>_j<i>B</i>_j<i>C</i>_{j + 1}(<i>j</i>= 1,...,<i>n</i>). Докажите, что отрезки<i>B</i>_j<i>C</i>_jи<i>OA</i>_jперпендикулярны, а их отношение равно2$\bigl($1 - cos(2$\pi$/<i>n</i>)$\bigr)$.

Дан не равносторонний треугольник<i>ABC</i>. Точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁и<i>C</i>₁выбраны так, что треугольники<i>BA</i>₁<i>C</i>,<i>CB</i>₁<i>A</i>и<i>AC</i>₁<i>B</i>собственно подобны. Докажите, что треугольник<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁равносторонний тогда и только тогда, когда указанные подобные треугольники являются равнобедренными треугольниками с углом120^<tt>o</tt>при вершинах<i>A</i&gt...

а) Даны точка<i>X</i>и треугольник<i>ABC</i>. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{XB}{b}}$^.$\displaystyle {\frac{XC}{c}}$ + $\displaystyle {\frac{XC}{c}}$^.$\displaystyle {\frac{XA}{a}}$ + $\displaystyle {\frac{XA}{a}}$^.$\displaystyle {\frac{XB}{b}}$$\displaystyle \ge$1, </div>где<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> — длины сторон треугольника. б) На сторонах<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>взяты точки<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁. Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c<...

Во вписанном четырёхугольнике<i>ABCD</i>прямая Симсона точки<i>A</i>относительно треугольника<i>BCD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>BCD</i>. Докажите, что прямая Симсона точки<i>B</i>относительно треугольника<i>ACD</i>перпендикулярна прямой Эйлера треугольника<i>ACD</i>.

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая<i>l</i>, проходящая через центр<i>O</i>вписанной окружности. Обозначим через<i>A</i>₁(соответственно<i>B</i>₁,<i>C</i>₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую<i>l</i>из точки<i>A</i>(соответственно<i>B</i>,<i>C</i>), а через<i>A</i>₂(соответственно<i>B</i>₂,<i>C</i>₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной<i>BC</i>(соответственно<i>CA</i>,<i>AB</i>). Докажите, что прямы...

Докажите, что если<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и<i>d</i> — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>, а<i>m</i>и<i>n</i> — длины его диагоналей, то<i>m</i>²<i>n</i>²=<i>a</i>²<i>c</i>²+<i>b</i>²<i>d</i>²- 2<i>abcd</i>cos(<i>A</i>+<i>C</i>) (Бретшнейдер).

а) Докажите, что если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i> — произвольные точки плоскости, то<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>$\ge$<i>AC</i>^.<i>BD</i>(<i>неравенство Птолемея</i>). б) Докажите, что если<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...<i>A</i>₆ — произвольные точки плоскости, то<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6+{}\\vspace{1\relax } +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5...

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в некоторую окружность. Докажите, что<i>L</i> — аффинное преобразование.

Пусть<i>L</i>— взаимно однозначное отображение плоскости в себя. Предположим, что оно обладает следующим свойством: если три точки лежат на одной прямой, то их образы тоже лежат на одной прямой. Докажите, что тогда<i>L</i> — аффинное преобразование.

На плоскости даны две прямые, пересекающиеся под острым углом. В направлении одной из прямых производится сжатие с коэффициентом 1/2. Докажите, что найдется точка, расстояние от которой до точки пересечения прямых увеличится.

На плоскости даны три вектора<b>a</b>,<b>b</b>,<b>c</b>, причем$\alpha$<b>a</b>+$\beta$<b>b</b>+$\gamma$<b>c</b>= 0. Докажите, что эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |$\alpha$|, |$\beta$|, |$\gamma$| можно составить треугольник.

Докажите, что любой выпуклый шестиугольник<i>ABCDEF</i>, в котором каждая сторона параллельна противоположной стороне, аффинным преобразованием можно перевести в шестиугольник с равными диагоналями<i>AD</i>,<i>BE</i>и<i>CF</i>.

Докажите, что любой выпуклый четырехугольник, кроме трапеции, аффинным преобразованием можно перевести в четырехугольник, у которого противоположные углы прямые.

Докажите, что если <i>M'</i>и <i>N'</i> — образы многоугольников <i>M</i>и <i>N</i>при аффинном преобразовании, то отношение площадей <i>M</i>и <i>N</i>равно отношению площадей <i>M'</i>и <i>N'</i>.

Докажите, что если аффинное преобразование переводит некоторую окружность в себя, то оно является либо поворотом, либо симметрией.

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

На плоскости дан многоугольник<i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_nи точка<i>O</i>внутри его. Докажите, что равенства<div align="CENTER"><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER">$\displaystyle \overrightarrow{OA_1}$ + $\displaystyle \overrightarrow{OA_3}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{n}}$$\displaystyle \overrightarrow{OA_2}$,</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT">    </td></tr> <tr valign="MIDDLE"> <td nowrap align="CENTER"> 1$\displaystyle \overrightarrow{OA...

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением<i>d</i>²=<i>r</i>₁²+<i>r</i>₂²±6<i>r</i>₁<i>r</i>₂(к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58359/problem_58359_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂цепочка из <i>n</i>касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями <i>T</i>₁и <i>T</i>₂, касающимися <i>R</i>₁и <i>R</i>₂в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла360^<tt>o</tt>/<i>n</i>(рис.).

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58358/problem_58358_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что если существует цепочка окружностей<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_n, каждая из которых касается двух соседних (<i>S</i>_nкасается <i>S</i>_{n - 1}и <i>S</i>₁) и двух данных непересекающихся окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂, то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности <i>T</i>₁, касающейся <i>R</i>₁и <i>R</i>₂(одинаковым образом, если <i>R</i>₁и ...

Окружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,...,<i>S</i>_nкасаются двух окружностей <i>R</i>₁и <i>R</i>₂и, кроме того,<i>S</i>₁касается <i>S</i>₂в точке <i>A</i>₁,<i>S</i>₂касается <i>S</i>₃в точке <i>A</i>₂...,<i>S</i>_{n - 1}касается <i>S</i>_nв точке<i>A</i>_{n - 1}. Докажите, что точки<i>A</i><sub>1</sub&g...

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

На плоскости взяты шесть точек <i>A</i>₁,<i>A</i>₂,<i>B</i>₁,<i>B</i>₂,<i>C</i>₁,<i>C</i>₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников<i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁,<i>A</i>₁<i>B</i>₂<i>C</i>₂,<i>A</i>₂<i>B</i>₁<i>C</i>₂,<i>A</i><sub>2</su...