Задача № 179290
Прямоугольный лист бумаги размеромa×bсм разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чиселaилиbцелое.
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 2-9 класса - сложность 5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 179272
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Задача № 173834
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Задача № 173814
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Задача № 173810
а) На плоскости даныnвекторов, длина каждого из которыхравна 1.Сумма всехnвекторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всехk = 1,2, ...,nвыполнялось следующее условие: длина суммы первыхk векторовнепревышает 3.б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Задача № 173795
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 173787
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Задача № 173775
По заданному ненулевомуxзначениеx8можно найти за три арифметических действия:x2 = x · x,x4 = x2 · x2,x8 = x4 · x4,аx15 —за пять действий: первыетри —те же самые, затемx8 · x8 = x16иx16 : x = x16.Докажите, чтоа) x16 можно найти за 12 действий (умножений и делений); б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
Задача № 173769
Дан квадрат состороной 1.От него отсекают четыреуголка —четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Задача № 173750
На бесконечном клетчатом листе белой бумагиnклеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времениt = 1,2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клеткаkприобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клеткиkи её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, тоkстановится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени...
Задача № 173689
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 173679
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г)
Задача № 173665
Какое наибольшее число точек можно разместитьa) наплоскости;б)* впространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Задача № 173637
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
Задача № 173626
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы...
Задача № 173605
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Задача № 173590
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 160919
Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.
Задача № 158418
Даны прямая l, окружность и точка M, лежащая на окружности и не лежащая на прямой l. ПустьPM — проектирование прямойlна данную окружность из точкиM(точка Xпрямой отображается в отличную от Mточку пересечения прямойXMс окружностью),R — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композицияPM-1oRoPMявляется проективным преобразованием.
Задача № 158417
Даны прямая l, окружность и точки M,N, лежащие на окружности и не лежащие на прямой l. Рассмотрим отображение Pпрямой lна себя, являющееся композицией проектирования прямой lна данную окружность из точки Mи проектирования окружности на прямую lиз точки N. (Если точка Xлежит на прямой l, тоP(X) есть пересечение прямойNYс прямой l, где Y — отличная от Mточка пересечения прямойMXс данной окружностью.) Докажите, что преобразование Pпроективно.
Задача № 158408
Найдите барицентрические координаты точки Штейнера.
Задача № 158407
Найдите уравнения эллипсов Штейнера в барицентрических координатах.
Задача № 158406
ТочкиZиWизогонально сопряжены относительно правильного треугольникаABCс центромO;M — середина отрезкаZW. Докажите, чтоAOZ+AOW+AOM=n(углы ориентированы).
Задача № 158405
ТочкиZиWизогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точкиZиWпереходят вZ*иW*. Докажите, что середина отрезкаZ*W*лежит на вписанной окружности.
Задача № 158404
Вершины треугольника соответствуют комплексным числамa,bиc, лежащим на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что если точкиzиwизогонально сопряжены, тоz+w+abc=a+b+c(Морли).
1–25 из 313