Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 2-8 класса - сложность 4 с решениями

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье? б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством? в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа. Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком  <i>n</i> > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...

Биссектриса<i>AD</i>, медиана<i>BM</i>и высота<i>CH</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>пересекаются в одной точке. Докажите, что величина угла<i>BAC</i><nobr>больше 45°.</nobr>

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых  2<i>n</i> – 1  целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.

Найдите суммы

  а)   1·<i>n</i> + 2(<i>n</i> – 1) + 3(<i>n</i> – 2) + ... + <i>n</i>·1.

  б)   <i>S_n,k</i> = (1·2·...·<i>k</i>)·(<i>n</i>(<i>n</i> – 1)...(<i>n</i> – <i>k</i> + 1)) + (2·3·...·(<i>k</i> + 1))·((<i>n</i> – 1)(<i>n</i> – 2)...(<i>n</i> – <i>k</i>)) + ... + ((<i>n</i> – <i>k</i> + 1)(<i>n</i> – <i>k</i> + 2)...·<i>n</i>)·(<i>k</i>(<i>k</i> – 1)·...·1).

На плоскости нельзя расположить семь прямых и семь точек так, чтобы через каждую из точек проходили три прямые и на каждой прямой лежали три точки. Докажите это.

Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых<nobr>больше 1.</nobr>Докажите это.Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.

Если сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_2.gif">   равна 0, то сумма дробей   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73562/problem_73562_img_3.gif">   тоже равна 0. Докажите это.

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

<img src="/storage/problem-media/73554/problem_73554_img_2.gif" width="172" height="69" vspace="10" hspace="20" align="right">В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времени<nobr><i>t</i> = 0</nobr>возбудить три соседние клетки...

Квадратная таблица размером <i>n×n</i> заполнена неотрицательными числами так, что как сумма чисел каждой строки, так и сумма чисел каждого столбца равна 1. Докажите, что из таблицы можно выбрать <i>n</i> положительных чисел, никакие два из которых не стоят ни в одном столбце, ни в одной строке.

Если разность между наибольшим и наименьшим из<nobr><i>n</i> данных</nobr>вещественных чисел<nobr>равна <i>d</i>,</nobr>а сумма модулей всех<nobr><i>n</i>(<i>n</i> – 1)/2</nobr>попарных разностей этих чисел<nobr>равна <i>s</i>,</nobr>то(<i>n</i> – 1)<i>d</i> <font face="Symbol">£</font> <i>s</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i>²<i>d</i>/4.Докажите это.

Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.

<b>13 монет.</b>Предположим теперь, что имеется 13 монет, из которых одна — фальшивая. Как за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету, если не требуется выяснять, легче она или тяжелее настоящей?

<b>12 монет.</b>Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.

<b>Пешечное противостояние.</b>На доске 3×<i>n</i>расставлены<i>n</i>черных и<i>n</i>белых пешек так, как показано на рисунке:<div align="CENTER">

<img width="160" height="49" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/60920/problem_60920_img_2.gif" alt="\begin{picture}(100,30) \multiput(0,0)(0,10){4}{\line(1,0){100}} \multiput(0,0... ...5,5)(10,0){10}{\circle{5}} \multiput(5,25)(10,0){10}{\circle*{5}} \end{picture}">

</div>Пешки ходят и бьют по шахматным правилам, к которым добавляется одно: бить обязательно. Тот, кто не может сделать ход: а) выигрывает; б) проигрывает. Какой из игроков выигрывает в этой игре в зависимости от значения<i&...

<b>Игра ``Шоколадка''.</b>Имеется шоколадка, состоящая из6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:<div align="CENTER">

$x$

</div>Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька. а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях? б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки? в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

<b>Последовательность Морса.</b>Бесконечная последовательность из нулей и единиц<div align="CENTER"> 0110 1001 1001 0110 1001... </div>построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц — нулями. а) Какая цифра стоит на 2001 месте? б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической? в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10. г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза под...

Как и раньше загадывается число от 1 до 200, а загадавший отвечает на вопросы да'' или нет''. При этом ровно один раз (за все ответы) он имеет право соврать. Сколько теперь понадобится вопросов, чтобы отгадать задуманное число?

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.