Задача № 173825
Для каких n существует такая замкнутая несамопересекающаяся ломаная из n звеньев, что каждая прямая, содержащая одно из звеньев этой ломаной, содержит ещё хотя бы одно её звено?
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 2-7 класса - сложность 4-5 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 173701
а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше ⅖ общего числа участников этого похода, во втором – тоже меньше ⅖. Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше 4/7 общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал по крайней мере в одном походе. б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ k ≤ n, мальчики составляли αk-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?
Задача № 173694
Можно ли расставить цифры 0, 1 и 2 в клетках листа клетчатой бумаги размером 100×100 таким образом, чтобы в каждом прямоугольнике размером 3×4, стороны которого идут по сторонам клеток, оказалось бы три нуля, четыре единицы и пять двоек?
Задача № 173693
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное числоa > 1,а далее под каждымчислом kслева пишем числоk2, асправа —числоk + 1.Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.
Задача № 173667
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю (то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0, x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1). а) Докажите, что n – квадрат целого числа. б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
Задача № 173626
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы...
Задача № 173555
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
Задача № 173554
В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Каждая клетка возбуждается в том и только в том случае, если к ней приходит сигнал от одной из соседних клеток; если сигналы приходят одновременно с двух сторон, то они погашаются, и клетка не возбуждается. Например, если в начальной момент времениt = 0возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то в...
Задача № 158295
На плоскости расположеноn5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.
Задача № 158294
На окружности отметили 4nточек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере nточек пересечения красных отрезков с синими.
Задача № 158293
Точка O, лежащая внутри выпуклого многоугольникаA1...An, обладает тем свойством, что любая прямаяOAiсодержит еще одну вершину Aj. Докажите, что кроме точки Oникакая другая точка не обладает этим свойством.
Задача № 158234
Разрежьте разносторонний треугольник на 7 равнобедренных, три из которых равны.
Задача № 158233
Разрежьте произвольный тупоугольный треугольник на 7 остроугольных.
Задача № 158232
Можно ли какой-нибудь невыпуклый 5-угольник разрезать на два равных 5-угольника?
Задача № 158231
Разрежьте квадрат на 8 остроугольных треугольников.
Задача № 158230
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.
Задача № 158088
В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)
Задача № 156665
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Задача № 156664
На каждой стороне четырехугольника ABCDвзято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCDтоже описанный.
Задача № 156663
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольникаABDкасается продолжений сторон ADи ABв точках Mи N. Докажите, что точки пересечения отрезка MNс BCи CDлежат на вписанной окружности треугольника BCD.
Задача № 156662
К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные ABи CD. Докажите, что четырехугольник ABCDописанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
Задача № 156554
Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A,Bи C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.
Задача № 156553
Многоугольник A1A2...A2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при nнечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при nчетном оставшаяся пара сторон равна по длине.