Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 5 с решениями

а) Даны прямая <i>l</i>и точка <i>P</i>вне ее. Циркулем и линейкой постройте на <i>l</i>отрезок<i>XY</i>данной длины, который виден из <i>P</i>под данным углом $\alpha$. б) Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и точки <i>P</i>и <i>Q</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁точку <i>X</i>и на прямой <i>l</i>₂точку <i>Y</i>так, что отрезок<i>XY</i>виден из точки <i>P</i>под данным углом $\alpha$, а из точки <i>Q</i> — под данным углом $\beta$.

Даны окружность <i>S</i>и две хорды<i>AB</i>и <i>CD</i>. Циркулем и линейкой постройте на окружности такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на<i>CD</i>отрезок а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>хорды<i>CD</i>.

Циркулем и линейкой проведите через данную точку прямую, на которой три данные прямые высекают равные отрезки.

Точки <i>A</i>и <i>B</i>лежат на прямых <i>a</i>и <i>b</i>соответственно, а точка <i>P</i>не лежит ни на одной из этих прямых. Циркулем и линейкой проведите через <i>P</i>прямую, пересекающую прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>X</i>и <i>Y</i>соответственно таких, что длины отрезков<i>AX</i>и <i>BY</i>имеют а) данное отношение; б) данное произведение.

Даны две прямые <i>l</i>₁и <i>l</i>₂и две точки <i>A</i>и <i>B</i>, не лежащие на этих прямых. Циркулем и линейкой постройте на прямой <i>l</i>₁такую точку <i>X</i>, чтобы прямые<i>AX</i>и <i>BX</i>высекали на прямой <i>l</i>₂отрезок, а) имеющий данную длину <i>a</i>; б) делящийся пополам в данной точке <i>E</i>прямой <i>l</i>₂.

Даны окружность, прямая и точки <i>A</i>,<i>A'</i>,<i>B</i>,<i>B'</i>,<i>C</i>,<i>C'</i>,<i>M</i>, лежащие на этой прямой. Согласно задачам <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158409">30.1</a>и <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158411">30.3</a>существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>соответственно в <i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Обозначим это преобразование через <i>P</i>. Постройте при помощи одной линейки а) точку<i>P</i>(<i>M</i>); б) неподвижные...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>,<i>F</i>лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>DE</i>,<i>BC</i>и <i>EF</i>,<i>CD</i>и <i>FA</i>лежат на одной прямой (Паскаль).

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158452">30.44</a>).

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему Паппа (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158435">30.27</a>).

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача <a href="https://mirolimp.ru/tasks/158441">30.34</a>).

На стороне<i>AB</i>четырехугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>₁. Пусть <i>M</i>₂ — проекция <i>M</i>₁на прямую<i>BC</i>из <i>D</i>,<i>M</i>₃ — проекция <i>M</i>₂на<i>CD</i>из <i>A</i>,<i>M</i>₄ — проекция <i>M</i>₃на<i>DA</i>из <i>B</i>,<i>M</i>₅ — проекция <i>M</i>₄на<i>AB</i>из <i>C</i>и т. д. Докажите, что<i>M</i>₁₃=<i...

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>лежат на окружности,<i>SA</i>и <i>SD</i> — касательные к этой окружности,<i>P</i>и <i>Q</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно. Докажите, что точки <i>P</i>,<i>Q</i>и <i>S</i>лежат на одной прямой.

Пусть<i>ABCDEF</i> — описанный шестиугольник. Докажите, что его диагонали<i>AD</i>,<i>BE</i>и <i>CF</i>пересекаются в одной точке (Брианшон).

Вневписанная окружность треугольника<i>ABC</i>касается стороны<i>BC</i>в точке <i>D</i>, а продолжений сторон<i>AB</i>и <i>AC</i> — в точках <i>E</i>и <i>F</i>. Пусть <i>T</i> — точка пересечения прямых<i>BF</i>и <i>CE</i>. Докажите, что точки <i>A</i>,<i>D</i>и <i>T</i>лежат на одной прямой.

Даны окружность <i>S</i>, точка <i>P</i>, расположенная вне <i>S</i>, и прямая <i>l</i>, проходящая через <i>P</i>и пересекающая окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Точку пересечения касательных к окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>обозначим через <i>K</i>. а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через <i>P</i>и пересекающие<i>AK</i>и <i>BK</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от<i>AK</i>и <i>BK</i>касательных к <i>S</i>, проведенных из точек <i>M</i>и <i>N</i>, является некоторая пря...

Даны окружность <i>S</i>, прямая <i>l</i>, точка <i>M</i>, лежащая на <i>S</i>и не лежащая на <i>l</i>, и точка <i>O</i>, не лежащая на <i>S</i>. Рассмотрим преобразование <i>P</i>прямой <i>l</i>, являющееся композицией проектирования <i>l</i>на <i>S</i>из <i>M</i>,<i>S</i>на себя из <i>O</i>и <i>S</i>на <i>l</i>из <i>M</i>, т. е.<i>P</i>(<i>A</i>) — пересечение прямых <i>l</i>и <i>MC</i>, где <i>C</i> — отличная от <i>B</i>точка пересечения <i>S</i>с прямой<i>OB</i>, а <i>B</i> — от...

а) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные секущие окружности <i>S</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности <i>S</i>, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей. б) Через точку <i>P</i>проводятся всевозможные пары секущих<i>AB</i>и <i>CD</i>окружности <i>S</i>(<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых<i>AC</i>и <i>BD</i>.

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Докажите, что для любого нечетного<i>n</i>$\ge$3 на плоскости можно указать 2<i>n</i>различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила бы еще через одну из этих 2<i>n</i>точек.

Окружность пересекает прямые<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>в точках<i>A</i>₁и<i>A</i>₂,<i>B</i>₁и<i>B</i>₂,<i>C</i>₁и<i>C</i>₂. Пусть<i>l</i>_a — прямая, соединяющая точки пересечения прямых<i>BB</i>₁и<i>CC</i>₂,<i>BB</i>₂и<i>CC</i>₁; прямые<i>l</i>_bи<i>l</i>_cопределяются аналогично. Докажите, что прямые<i&g...

Даны четыре точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Пусть <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i> — точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AD</i>и <i>BC</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>соответственно;<i>K</i>и <i>L</i> — точки пересечения прямой<i>QR</i>с прямыми<i>AB</i>и <i>CD</i>соответственно. Докажите, что (<i>QRKL</i>) = - 1 (<i>теорема о полном четырехстороннике</i>).

Даны треугольник<i>ABC</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁середины отрезков, высекаемых на прямой <i>l</i>углами <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, а через <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂ — точки пересечения прямых<i>AA</i>₁и <i>BC</i>,<i>BB</i>₁и <i>AC</i>,<i>CC</i>₁и <i>AB</i>. Докажите, что точки <i>A</i>₂,<i&gt...

Даны четырехугольник<i>ABCD</i>и прямая <i>l</i>. Обозначим через <i>P</i>,<i>Q</i>,<i>R</i>точки пересечения прямых<i>AB</i>и <i>CD</i>,<i>AC</i>и <i>BD</i>,<i>BC</i>и <i>AD</i>, а через <i>P</i>₁,<i>Q</i>₁,<i>R</i>₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой <i>l</i>. Докажите, что прямые<i>PP</i>₁,<i>QQ</i>₁и <i>RR</i>₁пересекаются в одной точке.

Даны два треугольника<i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁. Известно, что прямые<i>AA</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CC</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>, прямые<i>AA</i>₁,<i>BC</i>₁и <i>CB</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i>₁и прямые<i>AC</i>₁,<i>BB</i>₁и <i>CA</i>₁пересекаются в одной точке <i>O</i><su...