Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 3-5 с решениями
Книги, журналы
Все источникиВнутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98138/problem_98138_img_2.gif"> . Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
На окружности имеется 21 точка.
Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>P</i>(<i>n</i>) число разбиений <i>n</i> в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, <i>P</i>(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его <i>разбросом</i> (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма <i>Q</i>(<i>n</i>) разбросов всех разбиений числа <i>n</i> равна 1 + <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>–1)....
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (<i>k</i>-й и (<i>k</i>+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (<i>k</i>–1)-ю и (<i>k</i>+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].
а) Доказать, что для любых положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>k</sub></i> (<i>k</i> > 3) выполняется неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97781/problem_97781_img_2.gif"></div>б) Доказать, что это неравенство ни для какого <i>k</i> > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного <i>k</i> нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из <i>k</i> положительных чисел.
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
а) <i>N</i> = 64,
б) <i>N</i> = 55,
в) <i>N</i> = 100.
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
Докажите следующие равенства: а) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">
б) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">
в) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">
Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?
На прямоугольном экране размером <i>m</i>×<i>n</i>, разбитом на единичные клетки, светятся более (<i>m</i> – 1)(<i>n</i> – 1) клеток. Если в каком-либо квадрате 2×2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы одна клетка.
Куб размером10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие друг к другу гранями, имеют различные цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков так, чтобы в каждом из 300 рядов размером1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, не хватало ровно одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа <i>x</i> и <i>y</i>, что 0 ≤ <img width="38" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79520/problem_79520_img_2.gif"> ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?
В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены <i>n</i>² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
а) хотя бы один треугольник;
б) не менее <i>n</i> треугольников.
Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
За круглым столом сидят <i>n</i> человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?
Три прямолинейных коридора одинаковой длины <i>l</i> образуют фигуру, изображённую на рисунке. По ним бегают гангстер и полицейский. Максимальная скорость полицейского в 2 раза больше максимальной скорости гангстера. Полицейский сможет увидеть гангстера, если он окажется от него на расстоянии, не большем <i>r</i>. Доказать, что полицейский всегда может поймать гангстера, если: а) <i>r > <sup>l</sup></i>/<sub>3</sub>; б) <i>r > <sup>l</sup></i>/<sub>4</sub>; в) <i>r > <sup>l</sup></i>/<sub>5</sub>; г) <i>r > <sup>l</sup></i>/<sub>7</sub>. <div align="center"><img width="150&q...
а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><sup>10</sup> при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif"> при любом <i>n</i>.
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального <i>x</i> выполняется неравенство <i>P</i>(<i>x</i>) > <i>x</i>. Определим последовательность {<i>b<sub>n</sub></i>} следующим образом: <i>b</i><sub>1</sub> = 1, <i>b</i><sub><i>k</i>+1</sub> = <i>P</i>(<i>b<sub>k</sub></i>) для <i>k</i> ≥ 1. Известно, что для любого натурального <i>d</i> найдется член последовательности {<i>b<sub>n</sub></i>}, делящийся на <i>d</i>. Докажите, что <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>...