Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Доказать, что существует такое натуральное число <i>n</i>, большее 1000, что сумма цифр числа 2^<i>n</i> больше суммы цифр числа 2^<i>n</i>+1.

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "<i>выборщика</i>" для голосования в большей группе: выборщики в...

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число.<span class="prim">(Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.)</span>Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число<nobr>(не пересекающих</nobr>друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

Дан треугольник <i>C</i>₁<i>C</i>₂<i>O</i>. В нём проводится биссектриса <i>C</i>₂<i>C</i>₃, затем в треугольнике <i>C</i>₂<i>C</i>₃<i>O</i> – биссектриса <i>C</i>₃<i>C</i>₄ и так далее.

Докажите, что последовательность величин углов  γ<i>_n = C</i>_<i>n</i>+1<i>C_nO</i>  стремится к пределу, и найдите этот предел, если  <i>C</i>₁<i>OC</i><...

На отрезке [0; 1] задана<nobr>функция <i>f</i>.</nobr>Эта функция во всех точках неотрицательна,<nobr><i>f</i>(1) = 1,</nobr>наконец, для любых двух неотрицательных чисел<i>x</i>₁и<i>x</i>₂, сумма которых не<nobr>превосходит 1,</nobr>величина<nobr><i>f</i> (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂)</nobr>не превосходит суммы величин<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₁)</nobr>и<nobr><i>f</i>(<i>x</i>₂).</nobr>а) Докажите для любого числа <i>x</i> отрезка [0; 1] неравенство...

Какое наибольшее количество  а) ладей;  б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

При каких натуральных  <i>n</i> ≥ 2  неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73792/problem_73792_img_2.gif">   выполняется для любых действительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, если

  а)  <i>p</i> = 1;

  б)  <i>p</i> = ⁴/₃;

  в)  <i>p</i> = ⁶/₅?

На плоскости даны две точки <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>C</i> – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек <i>A</i> и <i>B</i>. Построим последовательность точек

<i>C</i>₁ = <i>C, C</i>₂, <i>C</i>₃, ...,  где <i>C</i>_<i>n</i>+1 – центр описанной окружности треугольника <i>ABC_n</i>. При каком положении точки <i>C</i>

  а) точка <i>C_n</i> попадёт в середину отрезка <i>AB</i> (при этом <i>C</i>_<i>n</i>+1 и дальнейшие члены последова...

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x</i>₉, <i>x</i>₁₀ равна 1. Какой  а) наибольшей;  б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел <i>x</i>₁,  ½ (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂),  &frac13; (<i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃),  ...,  ¹/₁₀ (<i>x</i><sub>1<...

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на <i>n</i>.

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что

  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;

  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Из последовательности  <i>a</i>,  <i>a + d,  a</i> + 2<i>d,  a</i> + 3<i>d</i>, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где <i>d</i> не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^<i>a</i>/_<i>d</i>  рационально. Докажите это.

а) Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_2.gif">   (сумма берётся по всем целым <i>i</i>, 0 ≤ <i>i ≤ ⁿ</i>/₂). б) Докажите, что если <i>p</i> и <i>q</i> – различные числа и  <i>p + q</i> = 1,  то <div align="center"><img src="/storage/problem-media/73734/problem_73734_img_3.gif"></div>

Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i>   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73719/problem_73719_img_2.gif">

Докажите, что если

  а) <i>a, b</i> и <i>c</i> – положительные числа, то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_2.gif">   б) <i>a, b, c</i> и <i>d</i> – положительные числа,   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_3.gif">   в) <i>a</i>₁, ..., <i>a_n</i> – положительные числа  (<i>n</i> > 1),  то   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73717/problem_73717_img_4.gif">