Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
Книги, журналы
Все источникиДано <i>n</i> чисел, <i>p</i> – их произведение. Разность между <i>p</i> и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные <i>n</i> чисел иррациональны.
На плоскости даны три точки <i>A, B, C</i>. Через точку <i>C</i> проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до <i>A</i> и <i>B</i> было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
В какое наименьшее число цветов нужно раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги, чтобы
а) каждые две клетки на расстоянии 6 были покрашены в разные цвета? б) каждые четыре клетки, образующие фигуру формы буквы Г, были покрашены в четыре разных цвета? (Расстояние между клетками – наименьшее число линий сетки, горизонтальных и вертикальных, которые должна пересечь ладья на пути из одной клетки в другую.)
Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
в) но не может равняться 100.
Даны три треугольника: <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>3</sub>, <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>3</sub>. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида <i>A<sub>i</sub>B<sub>j</sub>C<sub>k</sub></i>, где <i>i, j, k</i> независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что...
Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98138/problem_98138_img_2.gif"> . Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?
Можно ли так выбрать шар, треугольную пирамиду и плоскость, чтобы всякая плоскость, параллельная выбранной, пересекала шар и пирамиду по фигурам равной площади?
На окружности имеется 21 точка.
Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.
В треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>AH</i> и биссектриса <i>BE</i>. Известно, что угол <i>BEA</i> равен 45°. Докажите, что угол <i>EHC</i> равен 45°.
Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
а) Привести пример такого положительного <i>a</i>, что {<i>a</i>} + {<sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>} = 1.
б) Может ли такое <i>a</i> быть рациональным числом?
Для каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>P</i>(<i>n</i>) число разбиений <i>n</i> в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, <i>P</i>(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его <i>разбросом</i> (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма <i>Q</i>(<i>n</i>) разбросов всех разбиений числа <i>n</i> равна 1 + <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>–1)....
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (<i>k</i>-й и (<i>k</i>+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (<i>k</i>–1)-ю и (<i>k</i>+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].
а) Доказать, что для любых положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>k</sub></i> (<i>k</i> > 3) выполняется неравенство: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/97781/problem_97781_img_2.gif"></div>б) Доказать, что это неравенство ни для какого <i>k</i> > 3 нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного <i>k</i> нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из <i>k</i> положительных чисел.
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединён авиалиниями ровно с десятью городами (если <i>A</i> соединён с <i>B</i>, то <i>B</i> соединён с <i>A</i>). Известно, что из каждого города можно попасть в любой другой (может быть, с пересадками). Доказать, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из каждого города в любой другой сохранится.
<i>N</i> друзей одновременно узнали <i>N</i> новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
а) <i>N</i> = 64,
б) <i>N</i> = 55,
в) <i>N</i> = 100.
<i>M</i> – множество точек на плоскости. Точка <i>O</i> называется "почти центром симметрии" множества <i>M</i>, если из <i>M</i> можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества <i>O</i> является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
Найдите уравнение гиперболы Енжабика в трилинейных коордитнатах.
Докажите следующие равенства: а) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_2.gif">
б) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_3.gif">
в) <img align="middle" src="/storage/problem-media/85241/problem_85241_img_4.gif">