Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 1 с решениями

Найдите  min |3 + 2<i>i – z</i>|  при  |<i>z</i>| ≤ 1.

Представьте в тригонометрической форме числа:

  а)  1 + <i>i</i>;   б)  2 + <img width="25" height="36" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_2.gif"> + <i>i</i>;   в)  1 + cos φ + <i>i</i>sin φ;   г)  sin ^π/₆ + <i>i</i>sin ^π/₆;   д)  <img width="103" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61069/problem_61069_img_3.gif">.

Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:

  а)  |<i>z + w</i>| ≤ |<i>z</i>| + |<i>w</i>|;   б)  |<i>z – w</i>| ≥ ||<i>z</i>| – |<i>w</i>||;   в)  |<i>z</i> – 1| ≤ |arg <i>z</i>|,  если  |<i>z</i>| = 1.

Докажите равенства:

  а)  <i>z</i> + <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2Re <i>z</i>;   б)  <i>z</i> – <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"> = 2<i>i</i> Im <i>z</i>;   в)  <img width="12" height="14" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/61067/problem_61067_img_2.gif"><i>z</i> = |<i>z</i>|².

Докажите равенства:

  а)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_2.gif">   б)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_3.gif">   в)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_4.gif">   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_5.gif">   д)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61066/problem_61066_img_6.gif">

Пусть  <i>z = x + iy,  w = u + iv</i>.  Найдите

  а)  <i>z + w</i>;   б)  <i>zw</i>;   в)  ^<i>z</i>/_<i>w</i>.

Докажите, что два класса <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> и <span style="text-decoration: overline;"><i>b</i></span> совпадают тогда и только тогда, когда  <i>a ≡ b</i> (mod <i>m</i>).

Докажите, что класс <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i></span> состоит из всех чисел вида  <i>mt + a</i>,  где <i>t</i> – произвольное целое число.

Что означают записи:   а) <i>a ≡ b</i> (mod 0);   б)  <i>a ≡ b</i> (mod 1)?

Разложите в цепные дроби числа ¹⁴⁷/₁₃ и ¹²⁹/₁₁₁.