Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны: 1) все грани равновелики; 2) каждое ребро равно противоположному; 3) все грани равны; 4) центры описанной и вписанной сфер совпадают; 5) суммы углов при каждой вершине равны; 6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ; 7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии; 8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности; 9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;...
Прямоугольный лист бумаги размеромa×bсм разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чиселaилиbцелое.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
а) На плоскости даныnвекторов, длина каждого из которыхравна 1.Сумма всехnвекторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всехk = 1,2, ...,nвыполнялось следующее условие: длина суммы первыхk векторовнепревышает 3.б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Предлагается построитьNточек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точекMiиMj, гдеiиj —любые числаот 1до N.Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек? в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
По заданному ненулевомуxзначениеx8можно найти за три арифметических действия:x2 = x · x,x4 = x2 · x2,x8 = x4 · x4,аx15 —за пять действий: первыетри —те же самые, затемx8 · x8 = x16иx16 : x = x16.Докажите, чтоа) x16 можно найти за 12 действий (умножений и делений); б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
На бесконечном клетчатом листе белой бумагиnклеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времениt = 1,2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клеткаkприобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клеткиkи её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, тоkстановится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени...
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральноечисло n,а другой задаёт вопросы типа «верно ли, чтоnнеменьше x»(число xон может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможнойстратегии Tвторого игрока сопоставим функциюfT(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задуманочисло n.Пусть, например,стратегия Tсостоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, чтоnне меньше 10?», «верно ли, чтоnне меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, чтоnне меньше 10(k+ 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, чт...
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)? б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы ни...
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г)
Какое наибольшее число точек можно разместитьa) наплоскости;б)* впространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это. г) Докажите, что в...
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Дана сферарадиуса 1.На ней расположены равные окружности γ0, γ1, ..., γnрадиуса r(n ≥ 3).Окружность γ0касается всех окружностей γ1, ..., γn; кроме того, касаются друг друга окружности γ1и γ2, γ2и γ3, ..., γnи γ1.При какихnэто возможно? Вычислите соответствующийрадиус r.
Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять из одной кучки от 1 до 5 камней. Определите выигрышную стратегию в этой игре, если тот, кто взял последний камень а) выигрывает; б) проыигрывает.
Докажите равенства а)427+35-427−35= 1; б)5211+55+9276−345= 1. Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.
а) Дана некоторая окружность. При помощи одной линейки постройтеn-угольник, стороны которого проходят через данные nточек, а вершины лежат на nданных прямых. б) При помощи одной линейки впишите в данную окружностьn-угольник, стороны которого проходят через данные nточек. в) При помощи циркуля и линейки впишите в данную окружность многоугольник, у которого некоторые стороны проходят через данные точки, некоторые другие параллельны данным прямым, а остальные имеют данные длины (о каждой стороне имеется информация одного из трех перечисленных типов).