Задача № 161538
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 161522
Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь): а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1); б) gk,l(x) = gl,k(x); в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x); д) gk,l(x) – многочлен степени kl. Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача № 161521
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами. Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача № 161459
Докажите, что геометрическая прогрессия{an} =bx0nудовлетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когдаx0-- корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.
Задача № 161458
Определение.Последовательность чиселa0,a1,...,an,..., которая удовлетворяет с заданнымиpиqсоотношению an+2=pan+1+qan (n=0,1,2,...) (11.2) называетсялинейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка. Уравнение x 2-px-q=0 (11.3) называетсяхарактеристическим уравнениемпоследовательности (an). Докажите, что если числаa0,a1фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.
Задача № 161455
Определение.Пусть функцияf(x,y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функциюf(x,y)гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: f(x,y)=1/4(f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1) +f(x,y-1)). Пустьf(x,y) иg(x,y) — гармонические функции. Докажите, что для любыхaиbфункцияaf(x,y) +bg(x,y) также будет гармонической.
Задача № 161430
Найдите последовательность {an} такую, чтоan=n2. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы12+ 22+ 32+...+n2.
Задача № 161429
Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношениемbn=an, (n= 1, 2,...). Как связаны частичные суммыSnпоследовательности {an} Sn = a1 + a2 +...+ an с последовательностью {bn}?
Задача № 161428
Найдите а) n2; в) nk; б) n(n - 1); д) Cnk.
Задача № 161400
Предположим, что имеется набор функций f1(x), ..., fn(x), определённых на отрезке [a, b]. Докажите неравенство:
Задача № 161379
Докажите неравенство для положительных значений переменных:
Задача № 161364
Докажите для положительных значений переменной неравенство
Задача № 161215
Докажите, что функцияcosне является периодической.
Задача № 161195
Докажите, что точка m = 1/3 (a1 + a2 + a3) является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.
Задача № 161178
Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и z2 – это геометрическое место точек z, для которых = .
Задача № 161177
z2, z1, z0 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда – вещественное число, или = .
Задача № 161176
Докажите, что угол между прямыми, пересекающимися в точке z0 и проходящими через точки z1 и z2, равен аргументу отношения
Задача № 161175
Пусть z1 и z2 – фиксированные точки комплексной плоскости. Дайте геометрическое описание множеств всех точек z, удовлетворяющих соотношениям: а) arg = 0; б) arg = 0.
Задача № 161089
Докажите, что числа wk (k = 0, ..., n – 1), являющиеся корнями уравнения wn = z, при любом z ≠ 0 располагаются в вершинах правильного n-угольника.
Задача № 161081
Решите в комплексных числах следующие квадратные уравнения:   а) z2 + z + 1 = 0; б) z2 + 4z + 29 = 0; в) z2 – (2 + i)z + 2i = 0; г) z2 – (3 + 2i)z + 6i = 0; д) z2 – (3 – 2i)z + 5 – 5i = 0; е) z2 – (5 + 2i)z + 5 + 5i = 0.
Задача № 161080
Вычислите   а) ;   б) в) ; г) ; д) ; е) .
Задача № 161079
Докажите, что квадратные корни из комплексного числа z = a + ib находятся среди чисел w = ± ± i . Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?
Задача № 161078
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.
Задача № 161075
Докажите, что для произвольных комплексных чисел z> и w выполняется равенство |z + w|2 + | z – w|2 = 2(|z|2 + |w|2). Какой геометрический смысл оно имеет?
Задача № 161072
Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости: а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси; б) первый квадрант, не включая координатных осей; в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2; г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.
1–25 из 35