Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 10 класса - сложность 2 с решениями

На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

Решить в натуральных числах систему

   <i>x + y = zt</i>,

   <i>z + t = xy</i>.

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

Известно, что  <i>ax</i>⁴ + <i>bx</i>³ + <i>cx</i>² + <i>dx + e</i>,  где <i>a, b, c, d, e</i> – данные целые числа, при любом целом <i>x</i> делится на 7.

Доказать, что все числа <i>a, b, c, d, e</i> делятся на 7.

Дано уравнение  <i>xⁿ – a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 – <i>a</i>₂<i>x</i>^<i>n</i>–2 – ... – <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x – a_n</i> = 0,  где  <i>a</i>₁ ≥ 0,  <i>a</i>₂ ≥ 0,  <i>a_n</i> ≥ 0.

Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

2^<i>n</i> = 10<i>a + b</i>.  Доказать, что если  <i>n</i> > 3,  то <i>ab</i> делится на 6.  (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа,  <i>b</i> < 10.)

Известно, что модули всех корней уравнений  <i>x</i>² + <i>Ax + B</i> = 0,  <i>x</i>² + <i>Cx + D</i> = 0  меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения

<i>x</i>² + ½ (<i>A + C</i>)<i>x</i> + ½ (<i>B + D</i>)<i>x</i> = 0  также меньше единицы. <i>A, B, C, D</i> – действительные числа.

Дано 100 чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ..., <i>a</i>₁₀₀, удовлетворяющих условиям:

  <i>a</i>₁ – 4<i>a</i>₂ + 3<i>a</i>₃ ≥ 0,

  <i>a</i>₂ – 4<i>a</i>₃ + 3<i>a</i>₄ ≥ 0,

  <i>a</i>₃ – 4<i>a</i>₄ + 3<i>a</i>₅ ≥ 0,

    ...,

  <i>a</i>₉₉ – 4<i>a</i>₁₀₀ +...

Имеются семь жетонов с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Докажите, что ни одно семизначное число, составленное посредством этих жетонов, не делится на другое.

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  <i>a</i>₀<i>xⁿ</i> + <i>a</i>₁<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i> + <i>a_n</i>,  принимающий при  <i>x</i> = 0  и  <i>x</i> = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

Решить систему:

   <i>x + y + z = a,

   x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>a</i>²,

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = <i>a</i>³.

В таблицу <i>n×n</i> записаны <i>n</i>² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма <i>n</i> чисел по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

Решите в натуральных числах уравнение  <i>n^x + n^y = n^z</i>.

Квадратный трёхчлен  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>  таков, что уравнение  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>  не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i>  также не имеет вещественных корней.

Найдите все решения уравнения  ¹/_<i>x</i> + ¹/_<i>y</i> + ¹/_<i>z</i> = 1  в целых числах, отличных <nobr>от 1.</nobr>

Пусть <i>k</i> и <i>n</i> – натуральные числа,  <i>k ≤ n</i>.  Расставьте первые <i>n</i>² натуральных чисел в таблицу <i>n</i>×<i>n</i> так, чтобы в каждой строке числа шли в порядке возрастания и при этом сумма чисел в <i>k</i>-м столбце была  а) наименьшей;  б) наибольшей.

Последовательность натуральных чисел  <i>a</i>₁ < <i>a</i>₂ < <i>a</i>₃ < ... < <i>a</i>_<i>n</i> < ...  такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что  <i>a</i>_<i>n</i> ≤ <i>n</i>²  для любого  <i>n</i> = 1, 2, 3, ...

Пусть <i>a, b, m, n</i> – натуральные числа, причём числа <i>a</i> и <i>b</i> взаимно просты и  <i>a</i> > 1.

Докажите, что если  <i>a^m + b^m</i>  делится на  <i>aⁿ + bⁿ</i>,  то <i>m</i> делится на <i>n</i>.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты <i>a, b, c</i> уравнения  <i>x</i>³ + <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>,  чтобы три его корня составляли арифметическую прогрессию?

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73613/problem_73613_img_2.gif">   где <i>x</i> и <i>y</i> – целые неотрицательные числа. Докажите это.

Многочлен <i>p</i> и число <i>a</i> таковы, что для любого числа <i>x</i> верно равенство  <i>p</i>(<i>x</i>) = <i>p</i>(<i>a – x</i>).

Докажите, что <i>p</i>(<i>x</i>) можно представить в виде многочлена от  (<i>x</i> – ^<i>a</i>/₂)².