Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Олимпиадные задачи из источника «Книги, журналы» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 161538
Найдите коэффициент при x у многочлена (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).
Задача № 161522
Докажите следующие свойства функций gk,l(x) (определения функций gk,l(x) смотри здесь): а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1); б) gk,l(x) = gl,k(x); в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x); г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x); д) gk,l(x) – многочлен степени kl. Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача № 161521
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами. Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача № 161459
Докажите, что геометрическая прогрессия{an} =bx0nудовлетворяет соотношению (11.2) тогда и только тогда, когдаx0-- корень характеристического уравнения (11.3) последовательности {an}.
Задача № 161458
Определение.Последовательность чиселa0,a1,...,an,..., которая удовлетворяет с заданнымиpиqсоотношению an+2=pan+1+qan (n=0,1,2,...) (11.2) называетсялинейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка. Уравнение x 2-px-q=0 (11.3) называетсяхарактеристическим уравнениемпоследовательности (an). Докажите, что если числаa0,a1фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.
Задача № 161455
Определение.Пусть функцияf(x,y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функциюf(x,y)гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть: f(x,y)=1/4(f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1) +f(x,y-1)). Пустьf(x,y) иg(x,y) — гармонические функции. Докажите, что для любыхaиbфункцияaf(x,y) +bg(x,y) также будет гармонической.
Задача № 161430
Найдите последовательность {an} такую, чтоan=n2. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы12+ 22+ 32+...+n2.
Задача № 161429
Пусть даны последовательности чисел {an} и {bn}, связанные соотношениемbn=an, (n= 1, 2,...). Как связаны частичные суммыSnпоследовательности {an} Sn = a1 + a2 +...+ an с последовательностью {bn}?
Задача № 161428
Найдите а) n2; в) nk; б) n(n - 1); д) Cnk.
Задача № 161419
Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7. Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.
Задача № 161400
Предположим, что имеется набор функций f1(x), ..., fn(x), определённых на отрезке [a, b]. Докажите неравенство:
Задача № 161399
Докажите, что уравнение x/y + y/z + z/x = 1 неразрешимо в натуральных числах.
Задача № 161380
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (1 +x/y)(1 +y/z)(1 +z/x) ≥ 8.
Задача № 161379
Докажите неравенство для положительных значений переменных:
Задача № 161364
Докажите для положительных значений переменной неравенство
Задача № 161362
Докажите для положительных значений переменных неравенство ≤ .
Задача № 161360
Докажите неравенство для положительных значений переменных:
Задача № 161359
Докажите неравенство для положительных значений переменных: x² +y² + 1 ≥xy + x + y.
Задача № 161356
Докажите неравенство ≤ для положительных значений переменных.
Задача № 161355
Докажите неравенство для положительных значений переменных: ≥ + .
Задача № 161354
Докажите неравенство для положительных значений переменных: (a + b + c + d)² ≤ 4(a² + b² + c² + d²).
Задача № 161353
Докажите, что ≥ .
Задача № 161320
Докажите, что для монотонно возрастающей функцииf(x) уравненияx=f(f(x)) иx=f(x) равносильны.
Задача № 161238
Докажите формулу: arccos x = \displaystyle \left\{\vphantom{\begin{array}{ll}\arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{есл... ...arcsin \sqrt{1-x^2},&\mbox{если }-1\leqslant x\leqslant 0. \end{array}}\right.
1–25 из 72