Задача № 21048510 класс11 класс5 / 5
Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны: 1) все грани равновелики; 2) каждое ребро равно противоположному; 3) все грани равны; 4) центры описанной и вписанной сфер совпадают; 5) суммы углов при каждой вершине равны; 6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ; 7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии; 8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности; 9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;...
Задача № 1792909 класс10 класс11 класс5 / 5
Прямоугольный лист бумаги размеромa×bсм разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чиселaилиbцелое.
Задача № 1792729 класс10 класс11 класс5 / 5
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Задача № 17875810 класс11 класс5 / 5
Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Задача № 1738348 класс9 класс10 класс5 / 5
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Задача № 1738148 класс9 класс10 класс5 / 5
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Задача № 1738109 класс10 класс11 класс5 / 5
а) На плоскости даныnвекторов, длина каждого из которыхравна 1.Сумма всехnвекторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всехk = 1,2, ...,nвыполнялось следующее условие: длина суммы первыхk векторовнепревышает 3.б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Задача № 1737958 класс9 класс10 класс5 / 5
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 1737879 класс10 класс11 класс5 / 5
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Задача № 17378010 класс11 класс5 / 5
Предлагается построитьNточек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точекMiиMj, гдеiиj —любые числаот 1до N.Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек? в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
Задача № 1737759 класс10 класс11 класс5 / 5
По заданному ненулевомуxзначениеx8можно найти за три арифметических действия:x2 = x · x,x4 = x2 · x2,x8 = x4 · x4,аx15 —за пять действий: первыетри —те же самые, затемx8 · x8 = x16иx16 : x = x16.Докажите, чтоа) x16 можно найти за 12 действий (умножений и делений); б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
Задача № 1737698 класс9 класс10 класс5 / 5
Дан квадрат состороной 1.От него отсекают четыреуголка —четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Задача № 1737509 класс10 класс11 класс5 / 5
На бесконечном клетчатом листе белой бумагиnклеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времениt = 1,2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клеткаkприобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клеткиkи её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, тоkстановится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени...
Задача № 17371510 класс11 класс5 / 5
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральноечисло n,а другой задаёт вопросы типа «верно ли, чтоnнеменьше x»(число xон может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможнойстратегии Tвторого игрока сопоставим функциюfT(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задуманочисло n.Пусть, например,стратегия Tсостоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, чтоnне меньше 10?», «верно ли, чтоnне меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, чтоnне меньше 10(k+ 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, чт...
Задача № 17371010 класс11 класс5 / 5
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)? б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы ни...
Задача № 1736898 класс9 класс10 класс5 / 5
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 1736885 / 5
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:**** – ****.Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый; б) первый может называть цифры...
Задача № 1736799 класс10 класс11 класс5 / 5
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г)
Задача № 1736659 класс10 класс11 класс5 / 5
Какое наибольшее число точек можно разместитьa) наплоскости;б)* впространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Задача № 17365410 класс11 класс5 / 5
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
Задача № 1736378 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
Задача № 1736267 класс8 класс9 класс5 / 5
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы...
Задача № 17361010 класс11 класс5 / 5
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это. г) Докажите, что в...
Задача № 1736059 класс10 класс11 класс5 / 5
Пустьl1,l2, ...,ln —несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точкеX1,X2, ...,Xnтак, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямойlkв точкеXk(для любого натуральногоk < n),проходил через точкуXk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямойlnвточке Xn,проходил черезточку X1.Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Задача № 1735908 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.