Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 9-10 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 197862
На прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу). Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
Задача № 197848
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
Задача № 179348
Найти все пары целых чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению 3·2x + 1 = y².
Задача № 178692
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Задача № 178198
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Задача № 177980
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой. Могут ли они вращаться?
Задача № 176546
Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Задача № 176458
Найти остаток от деления на 7 числа 1010 + 10102 + 10103 + ... + 101010.
Задача № 174569
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),а) проигрывает;б) выигрывает.Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Задача № 161385
Докажите, что если a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an, b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn, то наибольшая из сумм вида a1bk1 + a2bk2 + ... + anbkn (k1, k2, ..., kn – перестановка чисел 1, 2, ..., n), это сумма a1b1 + a2b2 + ... + anbn, а наименьшая – сумма a1bn + a2bn–1 + ... + anb1.
Задача № 161370
Докажите неравенство (a + b + c + d + 1)² ≥ 4(a² + b² + c² + d²) при a, b, c, d ∈ [0, 1].
Задача № 160750
Докажите, что при любом простом p делится на p.
Задача № 160749
Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо n8 + 1, либо n8 – 1 делится на 17.
Задача № 160458
Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 – простое число.
Задача № 160413
Докажите тождества: а) б) в) г) д) (Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при xk у многочлена (1 + x)n; пользуясь "шахматным городом" из задачи 160395).
Задача № 160391
Сколько диагоналей имеет выпуклый: а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?
Задача № 160344
а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных? б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
Задача № 135141
В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое. Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?
Задача № 130900
n – натуральное число. Докажите, что nn > (n + 1)n–1.
Задача № 130899
x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Задача № 130898
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130897
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130889
a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².
Задача № 130888
x, y > 0. Докажите, что
1–25 из 244