Задача № 216533
Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.
Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 9 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 160458
Докажите, что если число n! + 1 делится на n + 1, то n + 1 – простое число.
Задача № 160391
Сколько диагоналей имеет выпуклый: а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?
Задача № 135141
В народной дружине 100 человек. Каждый вечер на дежурство выходят трое. Можно ли организовать дежурство так, чтобы через некоторое время оказалось, что каждый дежурил с каждым ровно один раз?
Задача № 130865
Докажите, что x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.
Задача № 130861
Докажите, что x + 1/x ≥ 2 при x > 0.
Задача № 130860
Докажите, что при x ≥ 0.
Задача № 130649
Найдите все целые решения уравнения 3x – 12y = 7.
Задача № 130602
Какое число нужно добавить к числу (n² – 1)1000(n² + 1)1001, чтобы результат делился наn?
Задача № 130593
Найдите остаток от деления 6100 на 7.
Задача № 130403
а) a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7a делится на 3.б) 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.
Задача № 130386
Найдите последнюю цифру числа 250.
Задача № 130385
Найдите последнюю цифру числа 19891989.
Задача № 130384
Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
Задача № 130382
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Задача № 130379
Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.
Задача № 130378
а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3. б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.
Задача № 130377
Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.
Задача № 130364
На сколько нулей оканчивается число 100!?
Задача № 130363
Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?
Задача № 130352
Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?
Задача № 130349
У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?
Задача № 130348
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей? Все фигуры одного цвета.
Задача № 130345
Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?
Задача № 130330
Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов а) ВЕКТОР; б) ЛИНИЯ; в) ПАРАБОЛА; г) БИССЕКТРИСА; д) МАТЕМАТИКА.