Задача № 204037
Мальчик Стёпа говорит: позавчера мне было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?
Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 4-6 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 202877
Сколькими способами можно расставить чёрную и белую ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?
Задача № 188202
Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части — 9 и 15 кг?
Задача № 188034
Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?
Задача № 188007
Из шахматной доски вырезали две клетки – a1 и h8. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть 31 косточкой домино так, чтобы каждая косточка покрывала ровно две клетки доски?
Задача № 179654
В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
Задача № 160349
Назовём натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечётные цифры. Сколько существует четырёхзначных "симпатичных" чисел?
Задача № 160335
а) В Стране Чудес есть три города A, B и C. Из города A в город B ведет 6 дорог, а из города B в город C – 4 дороги. Сколькими cпособами можно проехать от A до C? б) В Стране Чудес построили еще один город D и несколько новых дорог – две из A в D и две из D в C. Сколькими способами можно теперь добраться из города A в город C?
Задача № 130951
В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.
Задача № 130928
Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.
Задача № 130927
Докажите, что три неравенства не могут быть все верны одновременно, если числаa1,a2,a3,b1,b2,b3положительны.
Задача № 130926
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств 1) a + b < c + d; 2) (a + b)cd < ab(c + d); 3) (a + b)(c + d) < ab + cd неверно.
Задача № 130925
x, y > 0. Через S обозначим наименьшее из чисел x, 1/y, y + 1/x. Какое максимальное значение может принимать величина S?
Задача № 130923
Докажите, что для любого x выполнено неравенство x4 – x³ + 3x² – 2x + 2 ≥ 0.
Задача № 130922
Докажите, что
Задача № 130921
x, y, z положительные числа. Докажите неравенство
Задача № 130920
a, b, c – натуральные числа и  1/a + 1/b + 1/c < 1. Докажите, что  1/a + 1/b + 1/c ≤ 41/42.
Задача № 130919
x, y – числа из отрезка [0, 1]. Докажите неравенство
Задача № 130918
a, b, c > 0 и abc = 1. Известно, что a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c. Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.
Задача № 130917
Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?
Задача № 130916
a, b, c, d ≥ 0, причём c + d ≤ a, c + d ≤ b. Докажите, что ad + bc ≤ ab.
Задача № 130915
1 > x > y > 0. Докажите, что
Задача № 130914
n – натуральное число. Докажите, что
Задача № 130913
Докажите, что 100! < 50100.
Задача № 130911
Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?
1–25 из 180