Задача № 160750
Докажите, что при любом простом p делится на p.
Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 11 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130900
n – натуральное число. Докажите, что nn > (n + 1)n–1.
Задача № 130843
Докажите, что из набора 0, 1, 2, ..., ½ (3k – 1) можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.
Задача № 130760
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6.
Задача № 130670
Решите уравнение x² – 5y² = 1 в целых числах.