Задача № 179348
Найти все пары целых чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению 3·2x + 1 = y².
Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 10 класса - сложность 3 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 174569
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),а) проигрывает;б) выигрывает.Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Задача № 160750
Докажите, что при любом простом p делится на p.
Задача № 130900
n – натуральное число. Докажите, что nn > (n + 1)n–1.
Задача № 130881
Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство
Задача № 130848
Докажите, что 479 < 2100 + 3100 < 480.
Задача № 130843
Докажите, что из набора 0, 1, 2, ..., ½ (3k – 1) можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.
Задача № 130842
Докажите, что из набора 0, 1, 2, ..., 3k – 1 можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.
Задача № 130811
Каждый из 102 учеников одной школы знаком не менее чем с 68 другими. Докажите, что среди них найдутся четверо, имеющие одинаковое число знакомых.
Задача № 130805
Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.
Задача № 130794
В стране 100 городов, некоторые из которых соединены авиалиниями. Известно, что от каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Докажите, что можно побывать во всех городах, совершив не более а) 198 перёлетов; б) 196 перелётов.
Задача № 130760
В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа 1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят единицы. Разрешается изменять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину, если а) k = 3; б) k = 4; в) k = 6.
Задача № 130685
а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p. б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (p – 1 единица) делится на p.
Задача № 130681
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что а) pq + qp ≡ p + q (mod pq); б) – чётное число, если p, q ≠ 2.
Задача № 130674
Найдите остаток от деления 3102 на 101.
Задача № 130670
Решите уравнение x² – 5y² = 1 в целых числах.
Задача № 130663
Решить в целых числах уравнение 3m + 7 = 2n.
Задача № 130609
Последовательность a1, a2, a3, ... натуральных чисел такова, что an+2 = an+1an + 1 при всех n. а) a1 = a2 = 1. Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4. б) Докажите, что an – 22 – составное число при любом n > 10.
Задача № 130470
Игра начинается с числа 1000. За ход разрешается вычесть из имеющегося числа любое, не превосходящее его, натуральное число, являющееся степенью двойки (1 = 20). Выигрывает тот, кто получит ноль.
Задача № 130466
Имеется две кучки по 11 спичек. За ход можно взять две спички из одной кучки и одну из другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Задача № 130465
а) Имеется две кучки по 7 камней. За ход разрешается взять один камень из любой кучки или по камню из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. б) Кроме ходов, допустимых в пункте а), разрешается перекладывать один камень из первой кучки во вторую. В остальном правила те же.
Задача № 130462
Ферзь стоит на полеc1. За ход его можно передвинуть на любое число полей вправо, вверх или по диагонали "вправо-вверх". Выигрывает тот, кто поставит ферзя на полеh8.
Задача № 130459
Имеется три кучки камней: в первой – 50, во второй– 60, в третьей – 70. Ход состоит в разбиении каждой кучки,состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки.Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню.