Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов. Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
Докажите, что уравнение <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> – <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда <i>n</i> – простое число.
Докажите, что 11<sup><i>n</i>+2</sup> + 12<sup>2<i>n</i>+1</sup> делится на 133 при любом натуральном <i>n</i>.
В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с семью другими.
Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).
Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
<i>p</i> и <i>p</i>² + 2 – простые числа. Докажите, что <i>p</i>² + 2 – также простое число.
Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Может ли <i>n</i>! оканчиваться ровно на пять нулей?
Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка <i>AB</i>. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки <i>A</i> не равна сумме расстояний от этих точек до точки <i>B</i>.
На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых.
Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.