Задача № 130816
Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов. Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы»
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 130667
Докажите, что уравнение 1/x – 1/y = 1/n имеет единственное решение в натуральных числах тогда и только тогда, когда n – простое число.
Задача № 130607
Докажите, что 11n+2 + 122n+1 делится на 133 при любом натуральном n.
Задача № 130427
В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).
Задача № 130407
Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
Задача № 130394
p и p² + 2 – простые числа. Докажите, что p² + 2 – также простое число.
Задача № 130367
Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Задача № 130363
Может ли n! оканчиваться ровно на пять нулей?
Задача № 130360
Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.
Задача № 130359
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача № 130312
Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
Задача № 130307
На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.
Задача № 121997
На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причём среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.
7526–7538 из 7538