Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 8-10 класса - сложность 4 с решениями

Дан выпуклый четырёхугольник<i> ABCD </i>, и проведены биссектрисы<i> l_A </i>,<i> l_B </i>,<i> l_C </i>,<i> l_D </i>внешних углов этого четырёхугольника. Прямые<i> l_A </i>и<i> l_B </i>пересекаются в точке<i> K </i>, прямые<i> l_B </i>и<i> l_C </i>– в точке<i> L </i>, прямые<i> l_C </i>и<i> l_D </i>– в точке<i> M </i>, прямые<i> l_D </i>и<i> l_A &...

На диагонали <i>AC</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> выбрана точка <i>K</i>, для которой  <i>KD = DC</i>, ∠<i>BAC</i> = ½ <i>KDC</i>,  ∠<i>DAC</i> = ½ ∠<i>KBC</i>.

Докажите, что  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>BCA</i>  или  ∠<i>KDA</i> = ∠<i>KBA</i>.

Каждая из окружностей<i> S</i>1,<i> S</i>2и<i> S</i>3касается внешним образом окружности<i> S </i>(в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно) и двух сторон треугольника<i> ABC </i>(см.рис.). Докажите, что прямые<i> AA</i>1,<i> BB</i>1и<i> CC</i>1пересекаются в одной точке.

Пусть<i> a </i>,<i> b </i>и<i> c </i>– стороны треугольника,<i> m_a </i>,<i> m_b </i>и<i> m_c </i>– медианы, проведённые к этим сторонам,<i> D </i>– диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_2.gif"> + <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_3.gif">+ <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_4.gif"> <img src="/storage/problem-media/108204/problem_108204_img_5.gif"> </i>6<i>D.

</i></center>

Даны полуокружность с диаметром <i>AB</i> и центром <i>O</i> и прямая, пересекающая полуокружность в точках <i>C</i> и <i>D</i>, а прямую <i>AB</i> – в точке <i>M</i>  (<i>MB < MA,

MD < MC</i>).  Пусть <i>K</i> – отличная от <i>O</i> точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>AOC</i> и <i>DOB</i>. Докажите, что угол <i>MKO</i> – прямой.

Окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2с центрами<i> O</i>1и<i> O</i>2пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>(см рис.). Луч<i> O</i>1<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>2в точке<i> F </i>, а луч<i> O</i>2<i>B </i>пересекает окружность<i> S</i>1в точке<i> E </i>. Прямая, проходящая через точку<i> B </i>параллельно прямой<i> EF </i>, вторично пересекает окружности<i> S</i>1и<i> S</i>2в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что<i> MN=AE+AF </i>.

Дан четырёхугольник<i> ABCD </i>, в котором<i> AB=AD </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ABC=<img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_2.gif"> ADC=</i>90<i>^o </i>. На сторонах<i> BC </i>и<i> CD </i>выбраны соответственно точки<i> F </i>и<i> E </i>так, что<i> DF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> AE </i>. Докажите, что<i> AF <img src="/storage/problem-media/108192/problem_108192_img_3.gif"> BE </i>.

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат. б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого <i>n</i>-угольника получается правильный <i>n</i>-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Пусть окружность, вписанная в треугольник<i> ABC </i>, касается его сторон<i> AB </i>,<i> BC </i>и<i> AC </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>и<i> M </i>соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники<i> BKL </i>,<i> CLM </i>и<i> AKM </i>проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i> ABCD </i> описан около окружности ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Окружность ω₁ касается стороны <i>BC</i> в точке <i>K</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>; окружность ω₂ касается стороны <i>AD</i> в точке <i>L</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>CD</i>. Известно, что точки <i>O, K</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон <i>BC, AD</i> и центр окружности ω лежат на одной прямой.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника<i> ABC </i>взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1,<i> C</i>1, отличные от точки пересечения высот<i> H </i>, причём сумма площадей треугольников<i> ABC</i>1,<i> BCA</i>1,<i> CAB</i>1равна площади треугольника<i> ABC </i>. Докажите, что окружность, описанная около треугольника<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1, проходит через точку<i> H </i>.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке<i> N </i>. Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке<i> K </i>, пересекает внешнюю окружность в точках<i> A </i>и<i> B </i>. Пусть<i> M </i>– середина дуги<i> AB </i>, не содержащей точку<i> N </i>. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника<i> BMK </i>, не зависит от выбора точки<i> K </i>на внутренней окружности.

Пусть <i>A'</i> – точка касания вневписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Прямая <i>a</i> проходит через точку <i>A'</i> и параллельна биссектрисе внутреннего угла <i>A</i>. Аналогично строятся прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> пересекаются в одной точке.

<i> ABCD </i>– выпуклый четырёхугольник. Окружности, построенные на отрезках<i> AB </i>и<i> CD </i>как на диаметрах, касаются внешним образом в точке<i> M </i>, отличной от точки пересечения диагоналей четырёхугольника. Окружность, проходящая через точки<i> A </i>,<i> M </i>и<i> C </i>, вторично пересекает прямую, соединяющую точку<i> M </i>и середину<i> AB </i>в точке<i> K </i>, а окружность, проходящая через точки<i> B </i>,<i> M </i>и<i> D </i>, вторично пересекает ту же прямую в точке<i> L </i>. Докажите, что<i> |MK-ML| = |AB-CD| </i>.

Радиус описанной окружности треугольника<i> ABC </i>равен радиусу окружности, касающейся стороны<i> AB </i>в точке<i> C' </i>и продолжений двух других сторон в точках<i> A' </i>и<i> B' </i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника<i> ABC </i>совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника<i> A'B'C' </i>.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Пусть<i> M </i>– точка пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>. На перпендикулярах, опущенных из<i> M </i>на стороны<i> BC </i>,<i> AC </i>и<i> AB </i>, взяты точки<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно, причём<i> A</i>1<i>B</i>1<i> <img src="/storage/problem-media/108095/problem_108095_img_2.gif"> MC </i>и<i> A</i>1<i>C</i>1<i> <img src="/storage/problem-media/108095/problem_108095_img_2.gif"> MB </i>. Докажите, что точка<i> M </i>является точкой пересечения медиан и в треугольнике<i> A</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.

На табло горят несколько лампочек. Имеется несколько кнопок. Нажатие на кнопку меняет состояние лампочек, с которыми она соединена. Известно, что для любого набора лампочек найдется кнопка, соединенная с нечетным числом лампочек из этого набора. Докажите, что, нажимая на кнопки, можно погасить все лампочки.

На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью с центром<i> O</i>2и радиусом<i> r</i>2. Найдите расстояние от точки<i> O</i>2до плоскости<i> α </i>, если расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1равно<i> a </i>.

На плоскости<i> α </i>, проходящей через центр шара радиуса<i> R </i>, задана окружность с центром<i> O</i>1и радиусом<i> r</i>1, расположенная внутри шара. Все точки этой окружности соединены прямыми с точкой<i> A </i>, принадлежащей шару и удалённой от плоскости<i> α </i>на расстояние<i> R </i>. Множество отличных от<i> A </i>точек пересечения этих прямых с поверхностью шара является окружностью радиуса<i> r</i>2, плоскость которой образует угол<i> ϕ </i>с плоскостью<i> α </i>. Найдите расстояние между точками<i> A </i>и<i> O</i>1.

Основанием пирамиды <i>ABMCP</i> сужит выпуклый четырехугольник <i>ABMC</i>, в котором угол при вершине <i>A</i> равен $\pi$/6, длина ребра <i>AB</i> равна единице . Площадь треугольника <i>BMC</i> в два раза больше площади треугольника <i>ABC</i>. Сумма длин ребер <i>BP</i> и <i>CP</i> равна $\sqrt{7}$. Объем пирамиды равен 3/4. Найдите радиус шара, имеющего наименьший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABMCP</i>.

Основанием пирамиды <i>THPCK</i> служит выпуклый четырехугольник <i>THPC</i>, который диагональю <i>HC</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>TH</i> равна <!-- MATH $4, {\rm ctg }\angle HCP = \sqrt{2}$ --> 4, <i>ctg</i>$\angle$<i>HCP</i> = $\sqrt{2}$. Сумма длин ребер <i>TK</i> и <i>CK</i> равна 4. Объем пирамиды равен <!-- MATH $5\frac{1}{3}$ --> 5${\frac{1}{3}}$. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди шаров, помещающихся в пирамиде <i>THPCK</i>.

Основанием пирамиды <i>MBKHE</i> служит выпуклый четырехугольник <i>MBKH</i>, в котором угол при вершине <i>M</i> равен $\pi$/2, угол, образованный диагональю <i>BH</i> и ребром <i>BK</i>, равен $\pi$/4, длина ребра <i>MB</i> равна 1. Площадь треугольника <i>BKH</i> в два раза больше площади треугольника <i>MBH</i>. Сумма длин ребер <i>BE</i> и <i>HE</i> равна $\sqrt{3}$. Объем пирамиды равен 1/4. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>MBKHE</i>.

Основанием пирамиды <i>ABCEH</i> служит выпуклый четырехугольник <i>ABCE</i>, который диагональю <i>BE</i> делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра <i>AB</i> равна 1, длины ребер <i>BC</i> и <i>CE</i> равны между собой. Сумма длин ребер <i>AH</i> и <i>EH</i> равна $\sqrt{2}$. Объем пирамиды равен 1/6. Найдите радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде <i>ABCEH</i>.

Два равных конуса с общей вершиной лежат на плоскости<i> α </i>. Угол между высотой и образующей каждого конуса равен<i> γ </i>, угол между высотами конусов равен<i> β </i>, причём<i> β + γ < </i>90<i>^o </i>. Найдите угол между образующей, по которой один из конусов касается плоскости<i> α </i>, и плоскостью основания другого конуса.