Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В пространстве заданы три луча: DA, DB и DC, имеющие общее начало D, причём ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°. Сфера пересекает луч DA в точках A1 и A2, луч DB – в точках B1 и B2, луч DC – в точках C1 и C2. Найдите площадь треугольника A2B2C2, если площади треугольников DA1B1, DA1C1, DB1C1 и DA2B2 равны соответственно , 10, 6 и 40.
Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.
Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.
Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.
Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие – на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.
Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360°/n вокруг некоторой точки.
Площадь трапеции ABCD равна 405. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в полтора раза меньше большего основания и на 3 больше меньшего.
Средняя линия трапеции равна 6, а разность оснований равна 4. Найдите основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и высотой h .
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и высотой h .
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой h и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды с боковым ребром b и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и углом α бокового ребра с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и углом β боковой грани с плоскостью основания.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и углом α бокового ребра с плоскостью основания,
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b .
Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h .