Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-7 класса
У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?
Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?
Все поля шахматной доски 8×8 покрыли 32 косточками домино (каждая косточка закрывает в точности два поля).
Докажите, что число вертикально лежащих косточек чётно.
На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.
а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.
<i>a, b, c</i> – такие три числа, что <i>a + b + c</i> = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение <i>ab + ac + bc</i> ≤ 0.
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая <i>l</i> пересекает её ровно в 1985 точках.
Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Лист бумаги согнут пополам. Докажите, что линия сгиба — прямая.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Известно, что при пересечении прямых <i>a</i> и <i>b</i> третьей прямой образовалось 8 углов. Четыре из этих углов равны 80°, а четыре других равны 100°.
Следует ли из этого, что прямые <i>a</i> и <i>b</i> параллельны?
Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, параллельная прямой <i>AC</i>. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной <i>B</i> относятся как 3 : 10 : 5.
Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Докажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).
Докажите, что если из числа 111...1 (2002 единицы) вычесть число 22...2 (1001 двойка), то получится полный квадрат.
В одной урне лежат два белых шара, в другой два черных, в третьей - один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающее ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Некто перевесил таблички так, что теперь каждая табличка указывает содержимое урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех трех урн?
В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.
Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?
Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является степенью (большей 1) другого натурального числа?
В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 клетки и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.
Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?
Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?