Задача № 188292
У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?
Олимпиадные задачи из источника «Интернет-ресурсы» для 4-7 класса
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 188215
Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?
Задача № 188042
Все поля шахматной доски 8×8 покрыли 32 косточками домино (каждая косточка закрывает в точности два поля). Докажите, что число вертикально лежащих косточек чётно.
Задача № 188037
На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан. а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? б) Можете ли вы определить, какой это будет плод? в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?
Задача № 179650
Доказать, что из любых 2001 целых чисел найдутся два, разность которых делится на 2000.
Задача № 178470
a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
Задача № 177955
Докажите, что если квадрат числа начинается с 0,999...9 (100 девяток), то и само число начинается с 0,999...9 (100 девяток).
Задача № 165589
Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)
Задача № 158182
Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.
Задача № 158161
На плоскости дана замкнутая ломаная с конечным числом звеньев. Прямая l пересекает её ровно в 1985 точках. Докажите, что существует прямая, пересекающая эту ломаную более чем в 1985 точках.
Задача № 157838
Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Задача № 155573
Лист бумаги согнут пополам. Докажите, что линия сгиба — прямая.
Задача № 155195
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Задача № 154775
Один из четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых, равен 41°. Чему равны три остальных угла?
Задача № 153559
Известно, что при пересечении прямых a и b третьей прямой образовалось 8 углов. Четыре из этих углов равны 80°, а четыре других равны 100°. Следует ли из этого, что прямые a и b параллельны?
Задача № 153424
Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC. Образовавшиеся при этом три угла с вершиной B относятся как 3 : 10 : 5. Найдите углы треугольника ABC.
Задача № 153380
Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.
Задача № 137549
Докажите, что никакая прямая не может пересечь все три стороны треугольника (в точках, отличных от вершин).
Задача № 135800
Докажите, что если из числа 111...1 (2002 единицы) вычесть число 22...2 (1001 двойка), то получится полный квадрат.
Задача № 135797
В одной урне лежат два белых шара, в другой два черных, в третьей - один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающее ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Некто перевесил таблички так, что теперь каждая табличка указывает содержимое урны неправильно. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех трех урн?
Задача № 135795
В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора. Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?
Задача № 135787
Существуют ли четыре подряд идущих натуральных числа, каждое из которых является степенью (большей 1) другого натурального числа?
Задача № 135784
В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 клетки и одна плитка 1×1. Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.
Задача № 135780
Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7?
Задача № 135776
Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?
51–75 из 303