Олимпиадные задачи по теме «Вероятность и статистика» - сложность 3-5 с решениями

В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина – Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы макс...

Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз, в эксперименте, в котором:

  а) симметричную монету бросают <i>n</i> раз;

  б) <i>n</i> раз бросают монету, у которой вероятность выпадения орла при одном бросании равна <i>p</i>  (0 < <i>p</i> < 1).

Каждый день пёс Патрик сгрызает одну тапочку из имеющегося дома запаса. Строго с вероятностью 0,5 Патрик хочет сгрызть левую тапочку и с вероятностью 0,5 – правую. Если желаемой тапочки нет, Патрик расстраивается. Сколько пар одинаковых тапочек нужно купить, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 Патрик не расстраивался целую неделю (7 дней)?

  На рисунке показано платежное поручение на оплату электричества некоторой энергосбытовой компании.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65348/problem_65348_img_2.png"></div>   Каждый месяц клиент передаёт компании показания трёхтарифного счётчика, установленного в квартире. Из показаний за текущий месяц вычитаются соответствующие показания за прошлый месяц, получается фактический расход за месяц по каждой из трёх тарифных зон (пик, ночь, полупик). Затем расход по каждой зоне умножается на цену одного киловатт-часа в этой зоне. Складывая полученные суммы, клиент получает общую сумму оплаты за месяц. В данном примере клиент заплатит 660 р.72 коп.

  Компания ведет учёт расхода и оплаты электроэнергии, пользуясь данными, полученными от...

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит <i>n</i> пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит <i>n</i> носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.

Вася купил <i>n</i> пар одинаковых носков. В течение <i>n</i> дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил её целый день. Через <i>n</i> дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовём пару носков <i>удачной</i>, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день.

  а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.

  б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.

В Анчурии проходит единый государственный экзамен. Вероятность угадать верный ответ на каждый вопрос экзамена равна 0,25. В 2011 году, чтобы получить аттестат, нужно было ответить верно на три вопроса из 20. В 2012 году Управление школ Анчурии решило, что три вопроса это мало. Теперь нужно верно ответить на шесть вопросов из 40. Спрашивается, если ничего не знать, а просто угадывать ответы, в каком году вероятность получить анчурийский аттестат выше – в 2011 или в 2012?

На борту авиалайнера 2<i>n</i> пассажиров, и авиакомпания загрузила для них <i>n</i> порций питания с курицей и <i>n</i> порций с рыбой. Известно, что пассажир с вероятностью 0,5 предпочитает курицу и с вероятностью 0,5 – рыбу. Назовём пассажира недовольным, если ему осталось не то, что он предпочитает.

  а) Найдите наиболее вероятное число недовольных пассажиров.

  б) Найдите математическое ожидание числа недовольных пассажиров.

  в) Найдите дисперсию числа недовольных пассажиров.

В игре "Что? Где? Когда?" разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно – одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков. Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.

  а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.

  б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт №5 будет разыгран.

Петя и ещё 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.

  а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?

  б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65336/problem_65336_img_2.png"></div>

Из 27 игральных кубиков сложен куб.

  а) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалось ровно 25 шестёрок.

  б) Найдите вероятность того, что на поверхности куба оказалась хотя бы одна единица.

  в) Найдите математическое ожидание числа шестёрок, смотрящих наружу.

  г) Найдите математическое ожидание суммы чисел, которые оказались на поверхности куба.

  д) Найдите математическое ожидание случайной величины: "Число различных цифр, оказавшихся на поверхности куба".

Ваня написал на доске число 1, а затем ещё несколько чисел. Как только Ваня пишет очередное число, Митя вычисляет медиану уже имеющегося набора чисел и записывает его себе в тетрадку. В некоторый момент в Митиной тетради записаны числа:  1; 2; 3; 2,5; 3; 2,5; 2; 2; 2; 2,5.

  а) Какое число записано на доске четвёртым?  б) Какое число записано на доске восьмым?

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью &frac13; – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. Каждую минуту Илья отрубает одну голову Змею. Пусть <i>x</i> – живучесть Змея  (<i>x</i> > 0).  Вероятность <i>p_s</i> того, что на месте отрубленной головы вырастет <i>s</i> новых голов  (<i>s</i> = 0, 1, 2),  равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65325/problem_65325_img_2.gif">  В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получился следующий вектор:  <i>K</i> = (1, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2).  Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность вектора <i>K</i> наибольшая.

По свистку учителя физкультуры все 10 мальчиков и 7 девочек выстроились в шеренгу в случайном порядке – кто куда успел.

Найдите математическое ожидание величины "Число девочек, стоящих левее всех мальчиков".

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку <i>a</i> вертикальных, <i>b</i> горизонтальных складок, а на правом – <i>c</i> вертикальных и <i>d</i> горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (<i>abcd</i>)  или просто Носорог  (<i>abcd</i>).

  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.

  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.

  Е...

  У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью <i>p</i> или неверный ответ – с вероятностью  <i>q</i> = 1 – <i>p</i>.

  Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.

  Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:

  – Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?

  – Кого именно ты собира...

Точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов <i>AOB, AOC</i> и <i>BOC</i> меньше чем

  а) ^10π²/₂₇;

  б) ^2π²/₉.

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.

  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010.

Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.

В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка <i>O</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку <i>O</i>. На рисунке показана одна из возможных схем складывания. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65309/problem_65309_img_2.gif"></div>