Задача № 20519210 класс11 класс5 / 5
Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника, причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы. а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только из этой бойницы, надежна? б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы больше 1/2. в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
Задача № 20518810 класс11 класс5 / 5
Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?
Задача № 1978069 класс10 класс11 класс5 / 5
k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M1 – множество m расположенных подряд вершин и M2 – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M1 отличается от количества закрашенных вершин в M2 не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и k ≤ n почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.
Задача № 1793679 класс10 класс11 класс5 / 5
На химической конференции присутствовалоkучёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4kвопросов; б) 2k- 2 вопросов.
Задача № 1792909 класс10 класс11 класс5 / 5
Прямоугольный лист бумаги размеромa×bсм разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чиселaилиbцелое.
Задача № 1792729 класс10 класс11 класс5 / 5
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Задача № 1780808 класс9 класс5 / 5
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Задача № 17649610 класс11 класс5 / 5
Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиусаr= 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.
Задача № 17646010 класс11 класс5 / 5
На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?
Задача № 17644410 класс11 класс5 / 5
В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный шестиугольник?
Задача № 17643910 класс11 класс5 / 5
В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.)
Задача № 1738348 класс9 класс10 класс5 / 5
При каких n правильный n-угольник можно разместить на листе бумаги в линейку так, чтобы все вершины лежали на линиях? (Линии — параллельные прямые, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга.)
Задача № 1738148 класс9 класс10 класс5 / 5
Наnкарточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которыхравно 1или –1.За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всехn чисел,если за один вопрос разрешено узнать произведение чисел наа) любыхтрёх карточках;б) любыхтрёх карточках, лежащих подряд? (Здесьn —натуральное число,большее 3).
Задача № 1738109 класс10 класс11 класс5 / 5
а) На плоскости даныnвекторов, длина каждого из которыхравна 1.Сумма всехnвекторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всехk = 1,2, ...,nвыполнялось следующее условие: длина суммы первыхk векторовнепревышает 3.б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1. в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Задача № 1737958 класс9 класс10 класс5 / 5
Окружность разбита точкамиA1,A2,...,Anнаn равныхдуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дугиA2A6иA6A10одинаково окрашены.)Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай,...
Задача № 1737879 класс10 класс11 класс5 / 5
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга. б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника. в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?
Задача № 17378010 класс11 класс5 / 5
Предлагается построитьNточек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точекMiиMj, гдеiиj —любые числаот 1до N.Можно ли провести построение, если расстояния rij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек? в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?
Задача № 1737509 класс10 класс11 класс5 / 5
На бесконечном клетчатом листе белой бумагиnклеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времениt = 1,2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клеткаkприобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клеткиkи её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, тоkстановится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени...
Задача № 1736898 класс9 класс10 класс5 / 5
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача № 1736799 класс10 класс11 класс5 / 5
Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа a, b, α и β, чтобы прямоугольник размером a×b можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером а) 20×15; б) 5×8; в) 6,25×15; г)
Задача № 1736659 класс10 класс11 класс5 / 5
Какое наибольшее число точек можно разместитьa) наплоскости;б)* впространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)
Задача № 1736378 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точекAи Bсуществует такаяточка Сэтого множества, что треугольникABCравносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
Задача № 17361010 класс11 класс5 / 5
а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это. г) Докажите, что в...
Задача № 1735908 класс9 класс10 класс11 класс5 / 5
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не большеn цифр,разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а вовторое —c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числаk £ nсуммаk-х степенейвсех чисел первого множества равна суммеk-х степенейвсех чисел второго множества.
Задача № 17353710 класс11 класс5 / 5
Дана сферарадиуса 1.На ней расположены равные окружности γ0, γ1, ..., γnрадиуса r(n ≥ 3).Окружность γ0касается всех окружностей γ1, ..., γn; кроме того, касаются друг друга окружности γ1и γ2, γ2и γ3, ..., γnи γ1.При какихnэто возможно? Вычислите соответствующийрадиус r.