Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 9-11 класса - сложность 1 с решениями

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8.

в) Тот же вопрос, если вырезали клетки a1 и h1.

Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых <!-- MATH $3x + 2y - 5 = 0$ --> 3<i>x</i> + 2<i>y</i> - 5 = 0 и <!-- MATH $x - 3y + 2 = 0$ --> <i>x</i> - 3<i>y</i> + 2 = 0 параллельно оси ординат.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку <i>M</i>(- 3;1) параллельно а) оси <i>Ox</i>; б) оси <i>Oy</i>.

Даны точки <i>A</i>(0; - 2), <i>B</i>(- 2;1), <i>C</i>(0;0) и <i>D</i>(2; - 9). Укажите те из них, которые лежат на прямой <!-- MATH $2x - 3y + 7 = 0$ --> 2<i>x</i> - 3<i>y</i> + 7 = 0.

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал пять открыток.

Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.

<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.

Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.

Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

Натуральное число <i>n</i> записано в десятичной системе счисления. Известно, что если какая-то цифра входит в эту запись, то <i>n</i> делится нацело на эту цифру (0 в записи не встречается). Какое максимальное число <i>различных</i> цифр может содержать эта запись?

Через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.

Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.

Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>(<i>-</i>2<i>;</i>0<i>;</i>3)параллельно плоскости2<i>x - y - </i>3<i>z + </i>5<i> = </i>0.

Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей.

В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, записанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?

При каких значениях <i>m</i> уравнения  <i>mx</i> – 1000 = 1001  и  1001<i>x = m</i> – 1000<i>x</i>  имеют общий корень?

Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.

Пусть<i>a</i>и<i>b</i>— целые числа. Напишем число<i>b</i>справа от числа<i>a</i>. Если число<i>a</i>чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число<i>a</i>₁напишем под числом<i>a</i>. Справа от числа<i>a</i>₁напишем число 2<i>b</i>. С числом<i>a</i>₁проделаем ту же операцию, что и с числом<i>a</i>, и, получив число<i>a</i>₂, напишем его под числом<i>a</i>₁. Справа от числа<i>a</i>₂напишем число 4<i>b&l...

Докажите, что не существует на плоскости четырех точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i>таких, что все треугольники<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>остроугольные.

Дан лист клетчатой бумаги. Каждый узел сетки обозначается некоторой буквой. Каким наименьшим числом различных букв нужно обозначить эти узлы, чтобы на отрезке (идущем по сторонам клеток - прим.ред.), соединяющем два узла, обозначенных одинаковыми буквами, находился, по крайней мере, один узел, обозначенный одной из других букв?

Даны два выпуклых многоугольника<i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄...<i>A</i>_nи<i>B</i>₁<i>B</i>₂<i>B</i>₃<i>B</i>₄...<i>B</i>_n. Известно, что<i>A</i>₁<i>A</i>₂=<i>B</i>₁<i>B</i>₂,<i>A</i>₂<i>A</i>₃=<i>B</i><sub>2</su...

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> число  <i>n</i>² + 8<i>n</i> + 15  не делится на  <i>n</i> + 4.