Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8 класса - сложность 1 с решениями

Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно <table cellspacing="0"> <tr><td>а) по 2 монеты;   </td><td>б) по 3 монеты;  </td><td>в) по 4 монеты;</td></tr> <tr><td>г) по 5 монет;   </td><td>д) по 6 монет;   </td><td>е) по 7 монет?</td></tr> </table>(Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

Может ли среднее арифметическое 35 целых чисел равняться 6,35?

Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

109 яблок разложены по пакетам. В некоторых пакетах лежит по <i>x</i> яблок, в других – по три яблока.

Найдите все возможные значения <i>x</i>, если всего пакетов – 20.

Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег да ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся да ещё 1 рубль. После этого денег у крестьянина не осталось. Сколько рублей у него было первоначально?

Сложите шесть спичек так, чтобы они образовали четыре равносторонних треугольника.

а) Из шахматной доски вырезали клетку a1. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1×2?

б) Тот же вопрос, если вырезали две клетки a1 и h8.

в) Тот же вопрос, если вырезали клетки a1 и h1.

Миша написал на доске в некотором порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время от времени Юра подходит к доске, стирает любые два знака и пишет вместо них один, причём если он стёр одинаковые знаки, то вместо них он пишет плюс, а если разные, то минус. После нескольких таких действий на доске остался только один знак. Какой?

а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?

б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.

Доказать, что среди любых одиннадцати целых чисел найдутся два, разность между которыми делится на 10.

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были различны?

Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.

Улитке нужно забраться на дерево высотой 10 метров. За день она поднимается на 4 метра, а за ночь сползает на 3.

Когда она доползет до цели, если стартовала улитка утром в понедельник?

Игорь закрасил в квадрате 6×6 несколько клеток. После этого оказалось, что во всех квадратиках 2×2 одинаковое число закрашенных клеток и во всех полосках 1×3 одинаковое число закрашенных клеток. Докажите, что старательный Игорь закрасил все клетки.

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое ''уплотнение'' повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?

Можно ли разрезать на четыре остроугольных треугольника

  а) какой-нибудь выпуклый пятиугольник,

  б) правильный пятиугольник.

В результате измерения четырёх сторон и одной из диагоналей некоторого четырёхугольника получились числа: 1; 2; 2,8; 5; 7,5. Чему равна длина измеренной диагонали?

<b>Точные квадраты.</b>Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).

Найдите координаты вершин треугольника, стороны которого лежат на прямых <!-- MATH $2x + y - 6 = 0$ --> 2<i>x</i> + <i>y</i> - 6 = 0, <!-- MATH $x - y + 4 = 0$ --> <i>x</i> - <i>y</i> + 4 = 0 и <i>y</i> + 1 = 0.

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых <!-- MATH $3x + 2y - 5 = 0$ --> 3<i>x</i> + 2<i>y</i> - 5 = 0 и <!-- MATH $x - 3y + 2 = 0$ --> <i>x</i> - 3<i>y</i> + 2 = 0 параллельно оси ординат.