Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 2-9 класса - сложность 4-5 с решениями
Методы
Все категорииДима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число<i> <img align="abscenter" src="/storage/problem-media/111849/2.gif">=</i>0<i>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111849/3.gif"></i>10715<i>.. </i>). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано<i> N </i>цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем<i> N </i>он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?
У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.
Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?
В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i> (2 ≤ <i>k ≤ N</i>) при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2<i>k</i> – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
Существуют ли такие ненулевые числа <i>a, b, c</i>, что при любом <i>n</i> > 3 можно найти многочлен вида <i>P<sub>n</sub></i>(<i>x</i>) = <i>x<sup>n</sup> + ... + ax</i>² + <i>bx + c</i>, имеющий ровно <i>n</i> (не обязательно различных) целых корней?
Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.
Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.
Для положительных чисел <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i> докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">
На столе лежат купюры достоинством 1, 2,<i> .. </i>,2<i>n </i>тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен? б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?
Докажите, что для треугольника со сторонами<i> a </i>,<i> b </i>,<i> c </i>и площадью<i> S </i>выполнено неравенство <center><i>
a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>-<img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_2.gif"> </i>(<i>|a-b|+|b-c|+|c-a|</i>)<i><sup>2</sup><img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_3.gif"> </i>4<i><img src="/storage/problem-media/111723/problem_111723_img_4.gif"> S.
</i></center>
Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)? (Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)
В бесконечной последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... число <i>a</i><sub>1</sub> равно 1, а каждое следующее число <i>a<sub>n</sub></i> строится из предыдущего <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1, если же остаток равен 3, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встреч...
Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.
Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине<i> A </i>квадрата<i> ABCD </i>находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке<i> A </i>). Вначале лиса сидит в точке<i> C </i>, а зайцы – в точках<i> B </i>и<i> D </i>. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше<i> v </i>, а зайцы – по лучам<i> AB </i>и<i> AD </i>со скоростью не больше 1. При каких значениях<i> v </i>лиса сможет поймать обоих зайцев?
Натуральные числа покрашены в <i>N</i> цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
б) При каких <i>N</i> такая раскраска возможна?
На плоскости даны точки<i> A<sub>1</sub> </i>,<i> A<sub>2</sub> </i>,<i> A<sub>n</sub> </i>и точки<i> B<sub>1</sub> </i>,<i> B<sub>2</sub> </i>,<i> B<sub>n</sub> </i>. Докажите, что точки<i> B<sub>i</sub> </i>можно перенумеровать так, что для всех<i> i<img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_2.gif"> j </i>угол между векторами<i> <img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_3.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/110807/problem_110807_img_4.gif"> </i>– острый или прямой.
Определите наименьшее действительное число <i>M</i>, при котором неравенство |<i>ab</i>(<i>a</i>² – <i>b</i>²) + <i>bc</i>(<i>b</i>² – <i>c</i>²) + <i>ca</i>(<i>c</i>² – <i>a</i>²)| ≤ <i>M</i>(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²)² выполняется для любых действительных чисел <i>a, b, c</i>.
Диагональ правильного 2006-угольника <i>P</i> называется <i>хорошей</i>, если её концы делят границу <i>P</i> на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны <i>P</i> также называются хорошими. Пусть <i>P</i> разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри <i>P</i>. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
Некоторые участники олимпиады дружат, и дружба взаимна. Назовём группу участников <i>кликой</i>, если все они дружат между собой. Их число называется <i>размером</i> клики. Известно, что максимальный размер клики чётен. Докажите, что участников можно рассадить по двум аудиториям так, что максимальные размеры клик в обеих аудиториях совпадают.
Какое минимальное количество клеток можно закрасить черным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три черные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?
Докажите, что если натуральное число <i>N</i> представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
а) В 99 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 50 ящиков, что в них окажется не менее половины всех яблок и не менее половины всех апельсинов. б) В 100 ящиках лежат яблоки и апельсины.
Докажите, что можно так выбрать 34 ящика, что в них окажется не менее трети всех яблок и не менее трети всех апельсинов.
Найдите все такие пары (<i>x, y</i>) натуральных чисел, что <i>x + y = a<sup>n</sup>, x</i>² + <i>y</i>² = <i>a<sup>m</sup></i> для некоторых натуральных <i>a, n, m</i>.