Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 5 с решениями

<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i>₁ – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i>₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i>₁ отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i>₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и  <i>k</i> ≤ <i>n</i>  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...

На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4<i>k</i>вопросов; б) 2<i>k</i>- 2 вопросов.

Прямоугольный лист бумаги размером<i>a</i>×<i>b</i>см разрезан на прямоугольные полоски, каждая из которых имеет сторону 1 см. Линии разрезов параллельны сторонам исходного листа. Доказать, что хотя бы одно из чисел<i>a</i>или<i>b</i>целое.

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса<i>r</i>= 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

На какое самое большее число частей можно разбить пространство пятью сферами?

В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный шестиугольник?

В пространстве расположены 3 плоскости и шар. Сколькими различными способами можно поместить в пространстве второй шар так, чтобы он касался трёх данных плоскостей и первого шара? (<i>В этой задаче речь фактически идёт о касании сфер, т.е. не предполагается, что шары могут касаться только внешним образом — прим. ред.</i>)

а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.

б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.

в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?

Предлагается построить<i>N</i>точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек<i>M</i>_<i>i</i>и<i>M</i>_<i>j</i>, где<i>i</i>и<nobr><i>j</i> —</nobr>любые числа<nobr>от 1</nobr><nobr>до <i>N</i>.</nobr>Можно ли провести построение, если расстояния <i>r</i>_<i>ij</i> заданы так, что всякие 5 из <i>N</i> точек построить можно? б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из <nobr><i>N</i> точек?</nobr> в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а...

На бесконечном клетчатом листе белой бумаги<i>n</i>клеток закрашены в чёрный цвет. В моменты времени<nobr><i>t</i> = 1,</nobr>2, 3,... происходит одновременное перекрашивание всех клеток листа по следующему правилу: каждая клетка<i>k</i>приобретает тот цвет, который имело в предыдущий момент большинство из трёх клеток: самой клетки<i>k</i>и её соседей справа и сверху (если две или три из этих клеток были белыми, то<i>k</i>становится белой, если две или три из них были чёрными,— то чёрной).а) Докажите, что через конечное время на листе не останется ни одной чёрной клетки. б) Докажите, что чёрные клетки исчезнут не позже, чем в момент времени <nobr><i>t</i> = <i>n</i>.</nobr>

Найдите необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять числа <i>a, b</i>, α и β, чтобы прямоугольник размером <i>a</i>×<i>b</i> можно было разрезать на прямоугольники размером α×β. Например, можно ли прямоугольник размером 50×60 разрезать на прямоугольники размером

а) 20×15;   б) 5×8;   в) 6,25×15;   г)  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73679/problem_73679_img_2.gif">

Какое наибольшее число точек можно разместить<nobr>a) на</nobr>плоскости;<nobr>б)* в</nobr>пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? (Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек<i>A</i><nobr>и <i>B</i></nobr>существует такая<nobr>точка <i>С</i></nobr>этого множества, что треугольник<i>ABC</i>равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это.<span class="prim">(Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)</span>б) Для любых двух <nobr>вершин <i>A</i></nobr> <nobr>и <i>B</i></nobr> любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника <nobr>из <i>А</i></nobr> <nobr>в <i>В</i></nobr> и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это. в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его <nobr>вершин <i>А</i></nobr> <nobr>и <i>В</i></nobr&g...

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше<nobr><i>n</i> цифр,</nobr>разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во<nobr>второе —</nobr>c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа<nobr><i>k</i> <font face="Symbol">£</font> <i>n</i></nobr>сумма<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел первого множества равна сумме<nobr><i>k</i>-х степеней</nobr>всех чисел второго множества.

Дана сфера<nobr>радиуса 1.</nobr>На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_<i>n</i><nobr>радиуса <i>r</i></nobr><nobr>(<i>n</i> ≥ 3).</nobr><nobr>Окружность γ₀</nobr>касается всех окружностей γ₁, ..., γ_<i>n</i>; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁и γ₂, γ₂и γ₃, ..., γ_<i>n</i><nobr>и γ₁.</nobr>При каких<i>n</i>это возможно? Вычислите соответствующий<nobr>радиус <i...

На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими? Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

а) Докажите, что если<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и<i>D</i> — произвольные точки плоскости, то<i>AB</i>^.<i>CD</i>+<i>BC</i>^.<i>AD</i>$\ge$<i>AC</i>^.<i>BD</i>(<i>неравенство Птолемея</i>). б) Докажите, что если<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...<i>A</i>₆ — произвольные точки плоскости, то<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6+{}\\vspace{1\relax } +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5...

Пусть на двух пересекающихся прямых <i>l</i>₁и <i>l</i>₂выбраны точки <i>M</i>₁и <i>M</i>₂, не совпадающие с точкой пересечения <i>M</i>этих прямых. Поставим в соответствие им окружность, проходящую через <i>M</i>₁,<i>M</i>₂и <i>M</i>. Если (<i>l</i>₁,<i>M</i>₁), (<i>l</i>₂,<i>M</i>₂), (<i>l</i>₃,<i>M</i>₃) — прямые с выбранными точками в общем положении...

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из <i>n</i>прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если <i>l</i>₁,<i>l</i>₂,<i>l</i>₃,<i>l</i>₄ — четыре прямые общего положения, то четыре окружности <i>S</i>_i, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой <i>l</i>_i, проходят через...

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.