Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 4-5 с решениями

Для каждого простого <i>p</i> найдите наибольшую натуральную степень числа <i>p</i>!, на которую делится число (<i>p</i>²)!.

Дано целое число  <i>n</i> > 1.  Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по <i>n</i> точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

В нашем распоряжении имеются 3^2<i>k</i>неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3<i>k + </i>1 взвешиваний?

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее <i>x</i> часов  (<i>x</i> > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от <i>x</i>)?

В блицтурнире принимали участие  2<i>n</i> + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее <i>n</i> игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

Дано конечное множество простых чисел <i>P</i>. Докажите, что найдётся такое натуральное число <i>x</i> , что оно представляется в виде  <i>x = a^p + b^p</i>  (с натуральными <i>a, b</i>) при всех   <i>p</i> ∈ <i>P </i>  и не представляется в таком виде для любого простого <i>p</i> ∉ <i>P</i>.

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из <i>N</i> цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем <i>N</i> фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

В стране есть <i>N</i> городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого <i>k</i>  (2 ≤ <i>k ≤ N</i>)  при любом выборе <i>k</i> городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2<i>k</i> – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?

Существуют ли такие ненулевые числа <i>a, b, c</i>, что при любом  <i>n</i> > 3  можно найти многочлен вида  <i>P_n</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ + ... + ax</i>² + <i>bx + c</i>,  имеющий ровно <i>n</i> (не обязательно различных) целых корней?

Имеются три комиссии бюрократов. Известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.

Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных.

Для положительных чисел <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i> докажите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111769/problem_111769_img_2.gif">

На столе лежат купюры достоинством 1, 2,<i> .. </i>,2<i>n </i>тугриков. Двое ходят по очереди. Каждым ходом игрок снимает со стола две купюры, большую отдает сопернику, а меньшую забирает себе. Каждый стремится получить как можно больше денег. Сколько тугриков получит начинающий при правильной игре?

Пусть<i> h </i> — наименьшая высота тетраэдра,<i> d </i> — наименьшее расстояние между его противоположными ребрами. При каких<i> t </i>возможно неравенство<i> d>th </i>?

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

а) Многоугольник обладает следующим свойством: если провести прямую через любые две точки, делящие его периметр пополам, то эта прямая разделит многоугольник на два равновеликих многоугольника. Верно ли, что многоугольник центрально симметричен? б) Верно ли, что любая фигура, обладающая свойством, указанным в п.а), центрально симметрична?

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем

  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);

  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)? (Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с действительными коэффициентами таков, что уравнение  <i>P</i>(<i>m</i>) + <i>P</i>(<i>n</i>) = 0  имеет бесконечно много решений в целых числах <i>m</i> и <i>n</i>.

Докажите, что у графика  <i>y = P</i>(<i>x</i>)  есть центр симметрии.

В бесконечной последовательности  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ... число <i>a</i>₁ равно 1, а каждое следующее число <i>a_n</i> строится из предыдущего <i>a</i>_<i>n</i>–1 по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 + 1,  если же остаток равен 3, то  <i>a_n = a</i>_<i>n</i>–1 – 1.  Докажите, что в этой последовательности

  а) число 1 встреч...

Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_2.gif"> </i>, б) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_3.gif"> </i>, в) не меньше, чем<i> <img src="/storage/problem-media/111351/problem_111351_img_4.gif"> </i>?

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине<i> A </i>квадрата<i> ABCD </i>находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке<i> A </i>). Вначале лиса сидит в точке<i> C </i>, а зайцы – в точках<i> B </i>и<i> D </i>. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше<i> v </i>, а зайцы – по лучам<i> AB </i>и<i> AD </i>со скоростью не больше 1. При каких значениях<i> v </i>лиса сможет поймать обоих зайцев?

Натуральные числа покрашены в <i>N</i> цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.

  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.

  б) При каких <i>N</i> такая раскраска возможна?