Задача № 216986
Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?
Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 10-11 класса - сложность 1 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216563
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Задача № 216487
Для игры в "Морской бой" на поле 8×8 клеток расставили 12 "двухпалубных" кораблей. Обязательно ли останется место для "трёхпалубного" корабля? ("Двухпалубный" корабль – прямоугольник 1×2, а "трёхпалубный" – 1×3. Корабли могут соприкасаться, но накладываться друг на друга не должны.)
Задача № 216445
Верно ли, что если b > a + c > 0, то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня?
Задача № 216220
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Задача № 216136
Kаждый из двух подобных треугольников разрезали на два треугольника так, что одна из получившихся частей одного треугольника подобна одной из частей другого треугольника. Bерно ли, что оставшиеся части также подобны?
Задача № 216084
Существуют ли два таких четырехугольника, что стороны первого меньше соответствующих сторон второго, а соответствующие диагонали больше?
Задача № 216023
Существует ли натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр как в частном, так и в остатке дает число 2011?
Задача № 216011
На доске записаны числа 1, 21, 2², 2³, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?
Задача № 215525
В некоторых клетках таблицы 10x10 расставлены несколько крести- ков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столб- ца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?
Задача № 215510
Какое наибольшее значение может принимать выражение где a, b, c – попарно различные ненулевые цифры?
Задача № 208543
Даны точки A(0;0), B(- 2;1), C(3;3), D(2; - 1) и окружность (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Задача № 197989
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые. Примечание: простых чисел бесконечно много.
Задача № 197893
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
Задача № 178602
Для зашифровки телеграфных сообщений требуется разбить всевозможные десятизначные "слова" – наборы из десяти точек и тире – на две группы так, чтобы каждые два слова одной группы отличались не менее чем в трёх разрядах. Указать способ такого разбиения или доказать, что его не существует.
Задача № 165983
В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?
Задача № 165170
Существует ли выпуклый четырёхугольник, каждая диагональ которого делит его на два остроугольных треугольника?
Задача № 161419
Найдите число всех диаграмм Юнга с весом s, если а) s = 4; б) s = 5; в) s = 6; г) s = 7. Определение диаграмм Юнга смотри в справочнике.
Задача № 161399
Докажите, что уравнение x/y + y/z + z/x = 1 неразрешимо в натуральных числах.
Задача № 161320
Докажите, что для монотонно возрастающей функцииf(x) уравненияx=f(f(x)) иx=f(x) равносильны.
Задача № 161078
Докажите равенство (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.
Задача № 160311
Докажите неравенство 2m+n–2 ≥ mn, где m и n – натуральные числа.
Задача № 160304
Докажите неравенство для натуральных n > 1:
Задача № 160298
Докажите, что для всех натуральных n число, записываемое 3n единицами, делится на 3n.
Задача № 160286
Докажите тождество:++...+=.
1–25 из 34