Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 10 класса

На плоскости даны восемь точек общего положения. В ряд выписали площади всех 56 треугольников с вершинами в этих точках. Докажите, что между выписанными числами можно поставить знаки «$+$» и «$-$» так, чтобы полученное выражение равнялось нулю.

На плоскости отмечено пять точек. Найдите наибольшее возможное число подобных треугольников с вершинами в этих точках.

На плоскости дано множество <i>S</i>, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Докажите, что <i>S</i> можно разбить на два множества <i>X</i> и <i>Y</i> так, что выпуклые оболочки  conv <i>X</i>  и  conv <i>Y</i>  имеют поровну вершин.