Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 7-10 класса

Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)

<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Существует ли такое число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2?

<i>Верхней целой частью</i>числа $x$ называют наименьшее целое число, большее или равное $x$. Докажите, что существует такое вещественное число $A$, что для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части $A^n$ до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2.

Будем называть натуральное число <i>почти квадратом</i>, если это либо точный квадрат, либо точный квадрат, умноженный на простое число.

Могут ли 8 почти квадратов идти подряд?