Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 6-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>.

  а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

  б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы  <i>C</i>(<i>a + b</i>) > 1000?

Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>. (Например,  <i>C</i>(10) = 2,  <i>C</i>(11) = 1,  <i>C</i>(12) = 2.)

Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (<i>a, b</i>),  что  <i>a ≠ b</i>  и  <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых <i>N</i> позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем <i>N</i> он гарантированно сможет это сделать?

На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.

Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им <i>k</i> целых чисел <i>n</i>₁, <i>n</i>₂, ..., <i>n_k</i> и отдельно сообщит значение выражения  <i>P</i>(<i>n</i>₁)<i>P</i>(<i>n</i>₂)...<i>P</i>(<i>n_k</i>).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем <i>k</i> учитель сможет составить задач...

У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера ¹/_<i>a</i>×¹/_<i>b</i>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и  ^<i>a</i>/_<i>c</i>×<i>b</i>  (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Можно ли <i>n</i> раз рассадить  2<i>n</i> + 1  человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если

 а)  <i>n</i> = 5;  б)  <i>n</i> = 4;  в) <i>n</i> – произвольное натуральное число?

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.

Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.