Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 4-9 класса - сложность 4-5 с решениями

На плоскости дано конечное множество $S$ точек, окрашенных в красный и зеленый цвета. Назовем множество<i>разделимым</i>, если для него найдется такой треугольник, что все точки одного цвета лежат строго внутри, а все точки другого – строго вне треугольника. Известно, что любые 1000 точек из $S$ образуют разделимое множество. Обязательно ли все множество $S$ разделимо?

Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ черных клеток, либо вовсе не было черных клеток?

Выпуклый фанерный многоугольник <i>P</i> лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через <i>P</i>, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать <i>P</i> по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.