Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 6-9 класса - сложность 3-4 с решениями

На доске выписаны числа от 1 до 50. Разрешено стереть любые два числа и вместо них записать одно число – модуль их разности. После 49-кратного повторения указанной процедуры на доске останется одно число. Какое это может быть число?

Дано<i>n</i>фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не<nobr>более <i>n</i>/2.</nobr>Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.

Для любого натурального числа <i>n</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73773/problem_73773_img_2.gif">   делится <nobr>на 2^<i>n</i>–1. Докажите это. </nobr>