Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 5-10 класса - сложность 2-3 с решениями

Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116574/problem_116574_img_2.gif"></div>Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной <i>d</i> метров. При каком наименьшем <i>d</i> фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?

Про приведённый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном

<i>m</i> ≥ 2  многочлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65692/problem_65692_img_2.gif">  имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) имеет действительные корни, причём только положительные?

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:

  а) меньше ⁴/₅;

  б) меньше ⁴/₇?

Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида  <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png">  было выполнено равенство  |<i>ad – bc</i>| = 1.

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?