Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 2-11 класса

Даны положительные числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_n</i>.  Известно, что  <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ + ... + <i>a_n</i> ≤ ½.  Докажите, что  (1 + <i>a</i>₁)(1 + <i>a</i>₂)...(1 + <i>a_n</i>) < 2.

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры. б) Даны натуральные числа <i>k</i> и <i>n</i>, причём  1 < <i>k < n</i>.  Для какого наименьшего <i>m</i> верно следующее утверждение: при любой расстановке <i>m</i> ладей на доске размером <i>n×n</i> клеток можно выбрать <i>k</i> ладей из этих <i>m</i> так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прямоугольная проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость имеет максимально возможную площадь.

Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.