Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
В стране 100 городов и несколько дорог. Каждая дорога соединяет два каких-то города, дороги не пересекаются. Из каждого города можно добраться до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что можно объявить несколько дорог главными так, чтобы из каждого города выходило нечётное число главных дорог.
На пол положили правильный треугольникABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторонуABв отношении 1 : 3, считая от вершиныA, второй делит сторонуBCв отношении 2 : 1, считая от вершиныB. В каком отношении делит сторонуACтретий гвоздь?
Даны шесть слов: ЗАНОЗА ЗИПУНЫ КАЗИНО КЕФАЛЬ ОТМЕЛЬ ШЕЛЕСТ За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Какое наименьшее число шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)?
а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на б) ¾; в) 7/10?
Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных по порядку: 1, 2, 3, ... Кассирша продала билеты на первые m мест, но на некоторые места она продала не один билет, и общее число проданных билетов n > m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя к месту, указанному на его билете, занимает его, если оно свободно, а если оно занято, говорит "Ох!" и идёт к следующему по номеру месту. Если оно свободно, то занимает его, если же занято, снова говорит "Ох!" и двигается дальше – до первого свободного места. Докажите, что общее количество "охов" не зависит от то...
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве: а) приписывать А слева; б) приписывать Б справа; в) одновременно приписывать Б слева и А справа. Например, БААБ так получить можно (A → БAA → БААБ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном половину слов длины получить можно, а другую половину – нельзя.
Есть бесконечная в одну сторону клетчатая полоска, клетки которой пронумерованы натуральными числами, и мешок с десятью камнями. В клетках полоски камней изначально нет. Можно делать следующее: – перемещать камень из мешка в первую клетку полоски или обратно; – если в клетке с номером лежит камень, то можно переложить камень из мешка в клетку с номером или обратно. Можно ли, действуя по этим правилам, положить камень в клетку с номером 1000?