Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Пусть  $x_1 \le \dots \le x_n$.  Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.

<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа. Покажите, что если  4<i>ab</i> – 1  делит  (4<i>a</i>² – 1)²,  то  <i>a = b</i>.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> > 1  с целыми коэффициентами, <i>k</i> – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен

<i>Q_k</i>(<i>x</i>) = <i>P</i>(<i>P</i>(...<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))...))  (<i>P</i> применён <i>k</i> раз). Докажите, что существует не более <i>n</i> целых чисел <i>t</i>, при которых  <i>Q_k</i>(<i>t</i>) = <i>t</i>.

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены <i>запрещёнными</i>. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.

Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не превосходит удвоенного числа в его середине.

Функции  <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через <i>m</i> число пар  (<i>x, y</i>),  для которых

<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>),  через <i>n</i> – число пар, для которых  <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i>(<i>y</i>),  а через <i>k</i> – число пар, для которых <i>g</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>y</i>).  Докажите, что  2<i>m ≤ n + k</i>.

а) Известно, что область определения функции  <i>f</i>(<i>x</i>)  – отрезок  [–1, 1]  и  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = – <i>x</i>  при всех <i>x</i>, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции <i>f</i>(<i>x</i>). б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993? (Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.)

На прямой стоят две фишки, слева – красная, справа – синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю – слева?

Существует ли натуральное число, делящееся на 1998, сумма цифр которого меньше 27?

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...

Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины <i>A</i> с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину <i>A</i>.

Даны две таблицы <i>A</i> и <i>B</i>, в каждой <i>m</i> строк и <i>n</i> столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом <i>k</i> от 1 до <i>m</i> сумма чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>A</i> не меньше суммы чисел в верхних <i>k</i> строках таблицы <i>B</i>. Известно также, что всего в таблице <i>A</i> столько же единиц, сколько в таблице <i>B</i>. Докажите, что при любом <i>l</i> от 1 до <i>n</i> сумма чисел в...

Перемножаются все выражения вида   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98373/problem_98373_img_2.gif">   (при всевозможных комбинациях знаков).

Докажите, что результат   а) целое число,   б) квадрат целого числа.

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки <i>М</i>, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?

(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)  

Периоды двух последовательностей – <i>m</i> и <i>n</i> – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Выпуклый 1993-угольник разрезан на выпуклые семиугольники.

Докажите, что найдутся четыре соседние вершины 1993-угольника, принадлежащие одному семиугольнику.

(Вершина семиугольника не может лежать внутри стороны 1993-угольника.)

На доску последовательно записываются натуральные числа. На <i>n</i>-м шаге (когда написаны числа  <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>_<i>n</i>–1)  пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы  <i>a</i>₁<i>k</i>₁ + <i>a</i>₂<i>k</i>₂ + ... + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>k</i>_<i>n</i>–1,  где <i>k_i</i> – целые неотрицательные числа (на <i>a</i>₁ никаких огран...

На отрезке  [<i>a, b</i>]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: <i>a</i> – синяя и <i>b</i> – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: <i>a</i> – красная и <i>b</i> – синяя?

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.