Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 4-5 с решениями

Озеро имеет форму невыпуклого<nobr><i>n</i>-угольника.</nobr>Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого<nobr><i>m</i>-угольника,</nobr>где<nobr><i>m</i>≤<i>n</i>.</nobr>

а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.

б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c_k</i>, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c_k</i>  для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c_k</i>.