Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 8 класса - сложность 2-3 с решениями

Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.

На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная, в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой). Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31 прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Возьмём все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.

  а) Какая наименьшая сумма может получиться?

  б) А какая наибольшая?

У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?

Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую.

Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?

На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно 1 или –1, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?

Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?

Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника <i>A</i> было подсчитано число набранных им очков (за победу дается 1 очко, за ничью – ½ очка, за поражение – 0 очков) и <i>коэффициент силы</i> по формуле: сумма очков тех участников, у кого <i>A</i> выиграл, минус сумма очков тех, кому он проиграл.

  а) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть больше 0?

  б) Могут ли коэффициенты силы всех участников быть меньше 0?

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.

Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из

  а) действительных

  б) целых

чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих  10<i>n</i> + 1  чисел отрицательна при любом натуральном <i>n</i>?

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать еще 6 цифр так, чтобы полученное 12-значное число было полным квадратом?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся с 1.

в) Найдите для каждого <i>n</i> такое наименьшее  <i>k = k</i>(<i>n</i>),  что к каждому <i>n</i>-значному числу можно приписать еще <i>k</i> цифр так, чтобы полученное (<i>n+k</i>)-значное число было полным квадратом.

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:

  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;

&nbsp б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).

Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Дан выпуклый восьмиугольник <i>ABCDEFGH</i>, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – <i>AB = CD = EF = GH</i>,

<i>BC = DE = FG = HA</i>  (будем называть такой восьмиугольник <i>полуправильным</i>). Проводим диагонали <i>AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB</i> и <i>HC</i>. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный вос...

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?

(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

На шахматной доске 4×4 расположена фигура – "летучая ладья", которая ходит так же, как обычная ладья, но не может за один ход стать на поле, соседнее с предыдущим. Может ли она за 16 ходов обойти всю доску, становясь на каждое поле по разу, и вернуться на исходное поле?

Доказать, что если натуральное число <i>k</i> делится на 10101010101, то в его десятичной записи по крайней мере шесть цифр отличны от нуля.

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

При каких <i>n</i> гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., <i>n</i> г можно разложить на три равные по массе кучки?

На асфальте нарисована полоса $1\times10$ для игры в «классики». Из центра первого квадрата надо сделать 9 прыжков по центрам квадратов (иногда вперёд, иногда назад) так, чтобы побывать в каждом квадрате по одному разу и закончить маршрут в последнем квадрате. Аня и Варя обе прошли полосу, и каждый очередной прыжок Ани был на то же расстояние, что и очередной прыжок Вари. Обязательно ли они пропрыгали квадраты в одном и том же порядке?

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:

    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;

    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.

  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).

  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.

  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i>₁ – сумма исходных чисел, <i>a</i>₂ – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i>₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.

  а) Могло ли случиться, что до <i>a</i>₅ последовательность убывает  (<i>a</i>₁ > <i>a</i>₂ > <i>a</i>₃ > <i>a</i>₄ > <i>a</i>₅),  а начиная с <i>a</i>₅ – возрастает  (<i>a</i>₅ < <i>a...

Играют двое. У первого 1000 чётных карточек (2, 4, ..., 2000), у второго – 1001 нечётная (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход состоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на неё, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)?

Пусть <i>a^b</i> обозначает число <i>a^b</i>. В выражении  7^7^7^7^7^7^7  надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок).

Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?