Олимпиадные задачи по теме «Методы» для 11 класса - сложность 2 с решениями
Методы
Все категорииУ барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?
Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю 29 карточек с номерами от 1 до 29. Зритель прячет две карточки, а остальные отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?
Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из
а) действительных
б) целых
чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих 10<i>n</i> + 1 чисел отрицательна при любом натуральном <i>n</i>?
На плоскости даны две параболы: $y = x^2$ и $y = x^2 - 1$. Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?
Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: <i>a</i><sub>1</sub> – сумма исходных чисел, <i>a</i><sub>2</sub> – сумма квадратов исходных чисел, <i>a</i><sub>3</sub> – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
а) Могло ли случиться, что до <i>a</i><sub>5</sub> последовательность убывает (<i>a</i><sub>1</sub> > <i>a</i><sub>2</sub> > <i>a</i><sub>3</sub> > <i>a</i><sub>4</sub> > <i>a</i><sub>5</sub>), а начиная с <i>a</i><sub>5</sub> – возрастает (<i>a</i><sub>5</sub> < <i>a...
Можно ли уместить два точных куба между соседними точными квадратами?
Иными словами, имеет ли решение в целых числах неравенство: <i>n</i>² < <i>a</i>³ < <i>b</i>³ < (<i>n</i> + 1)²?
Сумма нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.
Периметр выпуклого четырёхугольника равен 2004, одна из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна а) 1; б) 2; в) 1001?